Trygonometria. Joasia: Ile wynosi α, jeżeli sinα = √5/5, a cosα = 2√5/5 ?

M:

qstosz: Myślę, że nie chodzi w tym zadaniu o miarę kąta, a o sprawdzenie, czy istnieje kąt spełniający podane warunki. To zadanie zostało tu zamieszczone w 2011 roku i tamta Joasia jest już panią Joanną. Wystarczy sprawdzić, czy zachodzi sin²α + cos²α = 1

Qbuś:

Mariusz: qstosz co nie znaczy że inne Joasie nie będą miały z takim zadaniem problemu a zadanie nie jest rozwiązane Poza tym tu może chodzić o kąt a podanie zarówno sinusa jak i cosinusa pozwala stwierdzić w której ćwiartce jest kąt Jedynka trygonometryczna pozwala stwierdzić czy taki kąt istnieje

5		4*5
	+		= 1
25		25

Kąt α istnieje Sinus jest dodatni, cosinus także jest dodatni wobec czego kąt α znajduje się w pierwszej ćwiartce Wyznaczmy przybliżoną wartość kąta α

	√5		5
tg(α) =		*
	5		2√5

	1
tg(α) =
	2

Obliczmy pochodną tangensa

	tg(x+Δx)−tg(x)
limΔx→0		=
	Δx

	tg(x)+tg(Δx)		1
limΔx→0(		−tg(x))		=
	1−tg(x)tg(Δx)		Δx

	tg(x)+tg(Δx)−tg(x)+tg2(x)tg(Δx)
limΔx→0		=
	Δx(1−tg(x)tg(Δx))

	tg(Δx)		1+tg2(x)
limΔx→0		*		=
	Δx		1−tg(x)tg(Δx)

	tg(Δx)	1
(1+tg2(x))limΔx→0			=
	Δx	1−tg(x)tg(Δx)

	sin(Δx)		1		1
(1+tg2(x))limΔx→0		*limΔx→0		limΔx→0
	Δx		cos(Δx)		1−tg(x)tg(Δx)

tg'(x) = 1+tg²(x) f(f⁻¹(x)) = x f'(f⁻¹(x))*f⁻¹'(x) = 1

	1
f−1'(x) =
	f'(f−1(x))

	1
f−1'(x) =
	f'(y)

	1
arctg'(x) =
	1+tg2(arctg(x))

	1
arctg'(x) =
	1+x2

	1
arctg'(x) =
	1+x2

zatem

	1
arctg(x) = ∫0x		dt
	1+t2

	1
Rozłóżmy w szereg funkcję
	1+x2

korzystając z szeregu geometrycznego

1		1
	=
1+x2		1−(−x2)

1
	= ∑n=0∞(−1)nx2n , |(−x2)| < 1
1+x2

	1
∫0x		dt = ∫0x{∑n=0∞(−1)nt2n dt}
	1+t2

	1
∫0x		dt =∑n=0∞{(−1)n∫0xt2ndt}
	1+t2

	1		t2n+1
∫0x		dt = ∑n=0∞(−1)n		|0x
	1+t2		2n+1

	1		(−1)nx2n+1
∫0x		dt = ∑n=0∞		, |(−x2)| ≤ 1
	1+t2		2n+1

	1
tg(α) =		a więc należy do przedziału zbieżności
	2

	1		1		−1
α =		∑n=0∞		(		)n
	2		2n+1		4

Gdybyśmy mieli zadaną dokładność to moglibyśmy obliczyć przybliżoną wartość

:

	1
Toć ciut wincej niźli 26		stopnia
	2