Wiedząc, że liczby -1, p{3}, -p{2} są pierwiastkami równania... motylll: 1. Wiedząc, że liczby −1, √3, −√2 są pierwiastkami równania x⁶−6x⁴+11x²−6=0, podaj jego pozostałe pierwiastki. 2. Rozwiąż równania: a) 10x⁷−35⁶−85⁵+50x⁴=0 b) x⁶+7⁴+8x²+2=0 Nie mam pojęcia jak rozwiązać te zadania. Na lekcji robiliśmy tylko przykłady, które można było od razu rozłożyć na czynniki...

ICSP: dobrze. Od którego chcesz zacząć?

motylll: Może na początek wytłumaczysz mi jak rozwiązać przykłady z zad.2., dobrze?

ICSP: On jest dobrze przepisany czy gdzieś x pogubiłeś?

motylll: Masz rację, w a) powinno być 10x⁷ − 35x⁶ − 85x⁵ + 50x⁴ = 0, w b) x⁶ + 7x⁴ + 8x² + 2 = 0.

ICSP: więc w a) zacznijmy od wyciągnięcia największego czynnika przed nawias: 10x⁷ − 35x⁶ − 85x⁵ + 50x⁴ = 5x⁴(2x³ − 7x² − 17x + 10) oczywiście to będzie równe 0 gdy : 5x⁴ = 0 v 2x³ − 7x² − 17x + 10 = 0 z pierwszym nie powinieneś/aś mieć problemu więc zajmę się drugim: 2x³ − 7x² − 17x + 10 = 0 Z twierdzenia bezouta szukamy pierwiastków. w(−2) = 2 * (−8) − 7 * (4) − 17 * (−2) + 10 = −16 − 28 + 34 + 10 = −44 + 44 = 0 czyli −2 jest pierwiastkiem. Teraz masz dwie drogi. Możesz podzielić ten wielomian przez (x+2) lub rozłożyć poprzez grupowanie. Ja wolę rozkładać przez grupowanie 2x³ − 7x² − 17x + 10 = 2x³ + 4x² − 11x² − 22x + 5x + 10 = 2x²(x+2) −11x(x+2) + 5(x+2) = (x+2)(2x² − 11x + 5) Trójmian kwadratowy z nawiasu obliczysz sobie już sam/a z delty

	1
odp. x = 0 v x = −2 v x = 5 v x =
	2

ICSP: b) x⁶ + 7x⁴ + 8x² + 2 teraz robimy założenie : t = x² oczywiście z przeczyn oczywistych t≥ 0 t³ + 7t² + 8t + 2 = 0 . Na oko widać że t = −1 jest pierwiastkiem. t³ + t² + 6t² + 6t + 2t + 2 = t²(t+1) + 6t(t+1) + 2(t+1) = (t² + 6t + 2)(t+1) teraz rozkładamy tójmian kwadratowy : Δ = 2√7

	−6 + 2√7
t1 =
	2

	−6 − 2√7
t2 =
	2

czyli równanie jest sprzeczne. Tzn nie posiada żadnych pierwiastków rzeczywistych.

ICSP: Jak nie będziesz miał pytań do tych dwóch przykładów będziemy mogli przejść do zadania pierwszego. Dam ci wskazówkę a ty spróbujesz już zrobić sam/a

motylll: Dziękuję, już zaczęłam to rozumieć. Przejrzyście napisałeś, więc pytań do przykładów nie mam.

ICSP: teraz pierwsze: x⁶ − 6x⁴ + 11x² − 6 = 0 t = x² przy założeniu t≥0 teraz wiesz że x = −1 v x = √3 v x = −√2. Możesz obliczyć t? Czy jeżeli obliczysz t możesz ponownie obliczyć z t x?

motylll: Pierwsze zadanie już udało mi się zrobić : ) Jeszcze raz serdeczne dzięki.

Gustlik: ad 1) x⁶−6x⁴+11x²−6=0 Podstawiam t=x²≥0 t³−6t²+11t−6=0 Schemat Hornera: 1 −6 11 −6 1 1 −5 6 0 t=1 jest pierwiastkiem (t−1)(t²−5t+6)=0 Δ=1, t₁=2, t₂=3 mamy: t=1 v t=2 v t=3 czyli x²=1 v x²=2 v x²=3 x=1 v x=−1 v x=√2 v x=−√2 v x=√3 v x=−√3

Gustlik: Zad. 2 ad a) 10x⁷−35x⁶−85x⁵+50x4=0 5x⁴(2x³−7x²−17x+10)=0 x⁴=0 => x=0 (4−krotny) Rozkładam wielomian z nawiasu schematem Hornera: 2 −7 −17 10 1 2 −5 −22 −12 −1 2 −9 −8 18 2 2 −3 −23 −36 −2 2 −11 5 0 x=−2 jest pierwiastkiem 5x⁴(x+2)(2x²−11x+5)=0 Δ=81, √Δ=9

	1
x1=		, x2=10
	2

	1
Odp: x=−2 v x=0 (4−krotny) v x=		v x=5
	2

Gustlik: Zad. 2 ad b) b) x⁶+7x⁴+8x²+2=0 podstawiam t=x²≥0, jak w zad. 1. t³+7t²+8t+2=0 Rozkładam schematem Hornera − na oko widać, że liczba dodatnia ani 0 nie moze być pierwiastkiem tego wielomianu, bo wszystkie wyrazy mają dodatnie współczynniki, czyli już w tym momencie wiadomo, że jest to równanie sprzeczne, bo t=x² nie może być ujemne. Ale udowodnię to: szukam pierwiastków wśród liczb ujemnych:: 1 7 8 2 −1 1 6 2 0 t=−1 jest pierwiastkiem (t+1)(t²+6t+2)=0 Δ=28, √Δ=2√7

	−6−2√7
t1=		≈−5,65<0
	2

	−6+2√7
t2=		≈−0,35<0
	2

zatem x²=−1 v x²=−5,65 v x²=−0,35, czyli równanie sprzeczne.

Gustlik: Wkradł się chochlik w zad. 2 ad a) ma być x₂=5, a nie 10, ale w odpowiedzi poprawiłem.