podzielności liczb Tomek: 1. Dla dowolnych liczb naturalnych m, n jeżeli liczba mⁿ jest podzielna przez d, to co najmniej jedna z liczb m,n jest podzielna przez d. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla d=10, d=11. Wiem że jest to prawda ale jak do tego dojść? 2.Dowolna liczba naturalna daje przy dzieleniu przez d taką samą resztę jaką daje przy dzieleniu przez d jej końcówka 3 cyfrowa. Czy zdanie jest prawdziwe dla d=25, d=40. i tak samo jak w powyższym wiem że to jest prawdziwe jednak nie wiem jak do tego dojść

Daromir: Jeżeli d|mⁿ i m=p₁p₂....p_k gdzie p₁....p_k to rozkład na czynniki pierwsze to: d|p₁ⁿp₂ⁿp₃ⁿ....p_kⁿ czyli ∃(p_i) d|p_i, czyli d|m. Zdanie jest prawdziwe dla dowolnych d.

Tomek: to dlaczego w takim razie dla d= 12 jest to nieprawda?

Daromir: Sorry, nieco zbyt uprościłem przez co pojawiły się błędy...

Daromir: Chodzi Ci jedynie o d=10,11?

Tomek: d= 12 to wiem że jest nieprawda ponieważ znalazłam przykład który tego nie spełnia tak samo z d= 9. Jednak do d=12 i d=11 nie potrafie takich przykładów znaleźć jednak nie jestem pewna czy aby na pewno one nie istnieją

Daromir: Oczywiście jest to zdanie prawdziwe dla d, które jest iloczynem liczb pierwszych jedynie w pierwszej potędze. Jeżeli d|mⁿ i m=p₁....p_k to d|p₁ⁿ...p_kⁿ czyli d=p₁^i₁...p_k^i_k dzieli mⁿ W przypadku gdy i₁,i₂....i_k=1 to dla dowolnego n, d|m. A tak się dzieję w przypadku d=10 i d=11.

Magda: tak właśnie o tym przed chwilą pomyślałam a wiesz może jak zrobić kolejne?

Daromir: Poprawka i₁, ...,i_k=1 lub 0. d=9=3², dlatego mogłaś znaleźć taki przykład.

Daromir: Jeżeli d ( N jest trzycyfrowe ) d|N i d|1000, to d|k*1000+N, gdzie k jest dowolną liczbą naturalną. Jeżeli zatem d=25 25|N i 25|1000, to 25|N+k*1000. Analogicznie z d=40

Magda: czyli ogólnie jeśli 1000 dzieli moje d bez reszty to wtedy jest prawda a jeśli nie tak jak w przypadku d=12 to jest fałsz?

Daromir: Tak, dokładnie.

Magda: jej super bardzo Ci dziękuję! nie mam pojęcia skąd Ty to wszystko wiesz ale zazdroszczę wiedzy