Granice n-ty juz raz :D MrPytanie: Wykazać zbieżność ciągu i wyznaczyć jego granicę.

	1		2		n
a) an =		+		+ ... +
	n2 + 1		n2 + 2		n2 + n

	1		1		1
b) an =		+		+ ... +
	√n2 + 1		√n2 + 2		√n2 + n

wsk. Ciag monotoniczy i ograniczony jest zbiezny. Ok to wedlug tej wskazowki sprawdzilem monotonicznosc tego ciagu w podpunkcie a

n+1		n
	:		< 1 czyli ciag jest malejacy ale co teraz z tym
(n+1)2 + n+1		n2 + 1

ograniczeniem?

b.: a_n nie jest malejący! Napisz może wzór na a_n+1 (na a_n już napisałeś powyżej)

b.: Albo może lepiej, policz bardziej konkretnie, ile wynosi a₁, a ile a₂ −− tak dla orientacji o co chodzi...

MrPytanie:

n+1		n		n+1		n2 + n
	:		=		*		=
(n+1)2 + n+1		n2 + n		(n+1)2 + n+1		n

	n+1		n+1		(n+1)(n+1)		n+1
		*		=		=
	(n+1)2 + n+1		1		(n+1)(n+1+1)		n+2

dla mnie to wyglada na mniejsze od 1

MrPytanie: aaaaa zle

MrPytanie:

	1		1		3
a1 =		a2 =		a3 =
	2		3		11

MrPytanie:

	3		1
omg a3 =		=
	12		4

MrPytanie: znowu chyba zle

MrPytanie:

	1		1		5
a2 =		+		=
	2		3		6

MrPytanie:

	1		2		n		n+1
wzor na an+1 =		+		+ ... +		+
	n2 + 1		n2 + 2		n2 + n		(n+1)2 + n + 1

o to chodzilo?

MrPytanie: juz nie ogarniam x|

MrPytanie: moze ktos pomoc?

MrPytanie: bump

b.: policz dobrze a₂. Trzeba po prostu podstawić n=2 do wzoru. Jak tego nie umiesz, to dalej nie da rady...

b.: jak do tej pory dobrze napisany jest tylko a₁

Godzio: Oblicz różnicę a_{n + 1} − a_n > 0 −− rosnący, < 0 −− malejący

b.: tak w ogóle to mam wrażenie, że ta wskazówka jest nie do tego zadania

Godzio: Moja ?

b.: Nie, ta oryginalna

Godzio: W sumie widać od razu że ciąg jest rosnący, i teraz trzeba ograniczenie górne znaleźć, ale myślałem, że to bardziej formalnie trzeba

b.: jakoś nie wydaje mi się, żeby monotoniczność można było łatwo pokazać, za to łatwo zadanie zrobić z tw. o 3 ciągach

MrPytanie:

	1
a1 =
	2

	8
a2 =
	15

a₃ ≈ 0,531 ale co dalej?

b.: no przynajmniej znaczy to, że umiesz skorzystać ze wzoru na a_n. widać z tego, że ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący. Może być wprawdzie monotoniczny od pewnego miejsca, ale nie sadze, by bylo to latwo pokazac (o ile tak w ogole jest). Proponuje rozwiazac to zadanie korzystajac z tw. o 3 ciagach. Wskazówka: a_n jest sumą n składników, których mianowniki są ,,mniej więcej'' równe n².

m: jak obliczyc granice tych ciągów?

MrPytanie: taki szybki update: na ćwiczeniach dowiedziałem się ze "moze niepotrzebnie dalam wam ta wskazowke bo ona mogla zmylic" x) i faktycznie zrobilismy to przy uzyciu twierdzenia o 3 ciagach

m: wiesz moze jak to zrobic?

MrPytanie:

	1+2+...+n		1+n   *n 2		1   n( +1)   n
lim		= lim		=		=
	n2 + n		1   n2(1+ )   n		1   2n(1+ )   n

	1
=		to jest ten ciag mniejszy
	2

	1+2+...+n		1
lim		=		to ten ciag wiekszy
	n2+1		2

	1
wiec ten ciag z przykladu tez ma granice
	2