Dowodzik. Apsik !: Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n liczba: n⁴ + 2n³ + 2n² + 2n + 1 nie jest kwadratem liczby naturalnej. Udało mi się to doprowadzić do stanu: 3n( ... ) + n⁴ − n² − n. Moje przemyślenia: Biorąc pod uwagę, że kwadrat każdej liczby można zapisać jako 3n lub 3n + 1, muszę udowodnić, że n⁴ − n² − n nie jest równe 0, ani 1, problem w tym, że na to już kompletnie nie mam pomysłu. Mógłby ktoś ukierunkować dalsze myślenie, albo też podać jakąś inną propozycję rozwiązania tego zadania? Z góry dziękuję.

Vax: (n²+n+1)² > n⁴+2n³+2n²+2n+1 > (n²+n)²

Apsik !: A lekki opis tego? Bo jestem troszkę chyba zbyt tępy na tak szybkie rozwiązania... (n²+n)² to zapis kwadratu dowolnej liczby naturalnej?

Vax: Dane wyrażenie znajduje się między dwoma kolejnymi kwadratami liczb naturalnych, więc nie może być kwadratem liczby naturalnej.

Apsik !: A, dziękuję. A to: Znajdź wszystkie liczby naturalne dodatnie n, dla których liczba n³+3 jest podzielna przez n+3 ?

Vax:

n3+3		24
	= n2−3n+9−
n+3		n+3

Czyli n+3 ma być dzielnikiem 24, teraz lecisz po wszystkich przypadkach (bierzemy tylko naturalne dzielniki 24 większe od 3, bo jak jest jakiś dzielnik mniejszy bądź równy 3, to dostajemy niedodatnie n) n+3 = 4 v n+3 = 6 v n+3 = 8 v n+3 = 12 v n+3 = 24

Apsik !:

	24
a skąd się wzięło: n2−3n+9=		?
	n+3

Vax: Tam jest minus a nie równa się. To jest zwykłe dzielenie wielomianów https://matematykaszkolna.pl/strona/107.html