funkcje xxx:

	1
f(x)=sin		Jak zbadac okresowość takiej funkcji i wyznaczyc okres podstawowy nie rysując
	x

tej funkcji ?

Basia: sin¹_x+s = sin¹_x ⇔ ¹_x+s = ¹_x+2π ⇔ ¹_x+s = ^1+2πx_x ⇔ x = (x+s)(1+2πx) ⇔ x = x + 2πx² + s + 2πsx ⇔ 2πx² + 2πsx + s =0 Δ = 4π²s² − 4*2π*s = 4πs(πs−2) chcemy mieć jeden pierwiastek (okres podstawowy) Δ=0 πs − 2 = 0 s = ²_π

Basia: zasadniczo tam po pierwszym ⇔ powinno być 2kπ, a nie 2π niewiele to zmieni, ale lepiej popraw

Trivial: A co z drugim rozwiązaniem?

1		1
	= π−		+ 2kπ?
x+s		x

No i chyba s musi być niezależne od x.

	2
Jeżeli mamy: s =		z delty, to wcale nie oznacza od razu, że równanie:
	π

2πx² + 2πsx + s = 0 dla każdego x. Wydaje mi się, że ta funkcja nie jest okresowa. Chyba że czegoś nie wiem.

Trivial: równanie ... jest spełnione dla każdego x. *

xxx: czyli jak w koncu ma byc bo mam kolokwium a nikt nawet nie pokazał jednego przykladu jak badac okresowość algebraicznie

am: nie jest okresowa

xxx: ale dlaczego nie jest jak to wykazać

Trivial: Według mnie powinno to być tak. f(x) = f(x+T)

	1		1
sin		= sin
	x		x+T

Takie równanie ma dwie rodziny rozwiązań.

	1		1
(1)		=		+ 2kπ
	x		x+T

	1		1
(2)		= π−		+ 2kπ
	x		x+T

Dla pewnego całkowitego k. Wyznaczmy T z równania (1).

	1		1
		=		+ 2kπ
	x		x+T

	1		x+T
x =		=
	1   + 2kπ x+T		1 + 2kπ(x+T)

x + 2kπx² + 2kπxT = x + T T(2kπx − 1) = −2kπx²

	2kπx2
(1*) T = −
	2kπx − 1

Chcemy aby T było stałą i T≠0. Niestety, równanie (1*) nie generuje żadnych rozwiązań (dla każdego całkowitego k otrzymujemy albo T=0 albo T=T(x)). Postępując analogicznie z równaniem (2) można pokazać, że f(x) nie jest okresowa.

xxx: Taka prosta funkcja a nie da sie tego szybciej zrobic.

Trivial: Być może się da, ale przecież i tak nie ma dużo obliczeń.

xxx: a czy jak mamy cos(πx)+1 to okres bedzie T=2 bo funkcja powtarza sie tak jakby 3 razy częsciej niz funkcja cosx

Trivial: Znowu najlepiej wyjść z definicji. f(x) = f(x+T) cos(πx) + 1 = cos(π(x+T)) + 1 cos(πx) = cos(πx+πT) Dwie rodziny rozwiązań: (1) πx = πx + πT + 2kπ T = −2k. (2) πx = −(πx+πT) + 2kπ T = −2x + 2k ← zależy od x − odrzucamy. T = −2k Niech k=−1, wtedy T = 2. Czyli okres podstawowy to T = 2.

xxx: czyli ogólnie takie zadania robimy z taki sposób ze wychodzimy ze korzystamy z funkcji podstawowej i dajemy T jako niewiadoma. No ale da sie np takei cos w ten sposób wykaz bez rysowania ; f(x)=x−[x] (cześc ułamowa)

Trivial: Po prostu wnioskujemy, że część ułamkowa liczby x jest równa części ułamkowej liczby x + k, gdzie k całkowite. Czyli okres podstawowy T = 1.