wykorzystaj nierówności między średnimi pauliśka: √n≤ⁿ√n!≤ⁿ⁺¹₂

Vax:

n+1		n(n+1)2		1+2+3+...+n
	=		=		≥ n√n!
2		n		n

A teraz druga nierówność: √n ≤ ⁿ√n! /²ⁿ ⇔ nⁿ ≤ (n!)² Posłużymy się indukcją, dla n=1 działa, przy danym założeniu mamy dowieść, że: [(n+1)!]² ≥ (n+1)ⁿ⁺¹ ale: [(n+1)!]² = [n!*(n+1)]² = (n!)²*(n+1)² ≥ nⁿ * (n+1)² Czyli mamy pokazać:

	1
nn * (n+1)2 ≥ (n+1)n+1=(n+1)*(n+1)n /:nn*(n+1) ⇔ n+1 ≥ (1+		)n
	n

A to po prawej wiadomo do czego dąży

pauliśka: a skąd wiadomo że to po prawej jest prawdziwe?

Vax: Bo dane wyrażenie dąży do e < 2

AC: e≈2,7182818 > 2

Vax: Ajć racja.., ale to i tak za dużo nie zmienia u nas, n=2 można sprawdzić ręcznie.

pauliśka: a jakoś inaczej sie nie da tego udowodnić?

AC: Da się ale mniej elegancko. Ta lewa nierówność sprowadzamy do postaci tak jak Vax: nⁿ ≤ n! *n! Grupujemy prawą stronę w pary największa i najmniejsza: nⁿ ≤ 1*n * 2*(n−1) * 3*(n−2) * ........*(n−1)*2 * n*1 ogólnie para to a_k = k*(n+1−k) dla k=1.....n min(a_k) = n par takich jest n czyli min(n!*n!) = nⁿ cbdo

Olo: Czy można jaśniej?