ciało liczb zespolonych krzysztof: Wyznaczyć postać trygonometryczną tego z pierwiastków z= ⁸√−128+128√3i, dla których argument główny jest najmniejszy. Jako r podać moduł otrzymanego pierwiastka, a jako a argument główny w stopniach. Proszę o pomoc w rozpoczęciu zadania

krzysztof: z=⁸√−128+128√3i= ⁸√−128(cos128√3 + sin128√3)

	128√3+2kπ		128√3+2kπ
Wk= 8√−128+128√3i(cos		+ i sin		)
	8		8

k∊{1,...,8} Czy to jest poprawne rozpoczecie zadania?

ICSP: Nie.

ICSP: −128 + 128√3i przekształć to na postać trygonometryczną.

krzysztof: to znaczy w jaki sposób?

ICSP: Liczysz |z| i ustalasz φ. Tak jak było to pokazywane na wykładzie

krzysztof: czyli najpierw musze policzyć r ze wzoru √a²+b² a potem np cosφ =^a_r

ICSP: tak

krzysztof: a jeszcze jedno, czy b w tym przykładzie jest 128√3i czy z minusem?

ICSP: przy b jest plus.

krzysztof:

	π		π
czyli tak: −128+128√3i=256(cos−		+ i sin −		)?
	3		3

co dalej?

ICSP: Argument główny to argument z przedziału : (0;2π)

krzysztof: nie wiem co w zwiazku z tym?

	π
a przy		napewno ma byc minus?
	3

ICSP:

	π
−		nie należy do (0;2π)
	3

krzysztof:

	5π
nie wiem czy dobrze myśle, ale zamieniłbym to na
	3

ICSP:

5π
	należy do czwartej ćwiartki.
3

W czwartek ćwiartce cosinus jest dodatni a sinus ujemny. W twoim przykładzie cosinus jest ujemny a sinus dodatni.

krzysztof: to juz nie wiem

ICSP: no to zrobimy to tak jak chcą mnie uczyć

	1		√3
256(−		+		i)
	2		2

	1
cos φ = −
	2

	√3
sinφ =
	2

musisz rozwiązać ten układ równań i znaleźć kąt φ

krzysztof: nie za bardzo wiem jak to zrobic..

ICSP: byłeś na podstawie?

krzysztof: nie, ale za chiny nie moge teraz wpaść jak to zrobić

ICSP: która to ćwiartka: cos<0 sin> 0

krzysztof: druga

ICSP:

	1
teraz wystarczy dopasowac dla jakiej wartości kąta w drugiej ćwiartce cosφ = −
	2

krzysztof:

2π
	?
3

ICSP:

krzysztof: wczesniej dobrze myslałem piszac ta 5, tylko zamiast odjac dodałem..

ICSP: Zdarza się Teraz do wzoru.

krzysztof:

	2π		2π
256(cos		+ i sin		) ?
	3		3

ICSP: tak. To jest zapis w postaci trygonometrycznej. Teraz do wzoru De Movier;a zaczynasz od k = {0,1,2,...n−1}

krzysztof: nie wiem jak, do ktorego wzoru?

ICSP: http://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_de_Moivre'a

krzysztof:

	2π
czyli do wzoru u mnie : 256(cos{		+2kπ)/8) + i sin ( i to samo ) ? wstawiamy za k kolejno
	3

od 0 do 7?

ICSP: tak. n jest stałe równe 8

krzysztof:

	π		π
k=o: 256(cos		+ i sin		)
	12		12

	π		π
k=1: 256(cos		+ i sin		)
	3		3

	7π		7π
k=2: 256(cos		+ i sin		)
	12		12

	5π		5π
k=3: 256(cos		+ i sin		)
	6		6

	13π		13π
k=4: 256(cos		+ i sin		)
	12		12

	4π		4π
k=5: 256(cos		+ i sin		)
	3		3

	19π		19π
k=6: 256(cos		+ i sin		)
	12		12

	11π		11π
k=7: 256(cos		+ i sin		)
	6		6

dobrze? co dalej z tym?

ICSP: zapomniałeś spierwiastkować moduł. Teraz powyliczaj te wartości katów.

krzysztof: czyli zamiast 256, 16?

ICSP: we wzorze jest ⁿ√|z|

krzysztof: a czyli 2?

ICSP: czyli 2

krzysztof: jak mam powiliczac te wartosci katów?

ICSP: wzory redukcyjne

	π
cos		= cos15o = cos(45o−30o)
	12

trochę z tym roboty będzie

krzysztof: o ja..

ICSP: miłego wieczoru

krzysztof: czy to wsyztsko jest niezbedne do wyniku? nie da sie z góry załozyć która odpowiedz bedzie dobra?

krzysztof: ok, jutro dokonczymy to zadanie dzieki wielkie

ICSP: wszystkie będą dobre.

krzysztof:

	√6+√2		√6−√2
k=0:		+		i
	2		2

k=1: 1+√3i

	7(√6+√2)		7(√6−√2)
k=2:		+		i
	2		2

k=3: 5{3}+1/2 i

	13(√6+√2)		13(√6−√2)
k=4:		+		i
	2		2

k=5: −1+√3i

	19(√6+√2)		19(√6−√2)
k=6:		+		i
	2		2

k=7: 11√3+11i Czy tak ?

patryk: pewnie nie, ale czy odpowiedź bedzie r=2 a=15⁰ ?

ICSP: Krzystofie źle Patryk to wzór de Moviera. pierwiastek n−tego stopnia w liczbach zespolonych posiada n różnych rozwiązań a nie tylko jedno.

krzysztof: jesli w zadaniu trzeba podać r i a to co mam wybrac?

ICSP: przeczytaj jeszcze raz od początku zadanie.

krzysztof: to juz nie wiem

ICSP: Dobrze masz TO ja nie umiem czytać

	π		π
2(cos		+ isin		)
	12		12