Liczby zespolone Stachu: Pomóżcie obliczyć: ⁶√1 liczby zespolone I z I= 1 cosμ= 1 μ=0

	π
sinμ= 1 ⇒ μ= 1 =
	2

i tu mam problem jak wyznaczyć ten kąt μ żeby podstawić do wzoru ⁿ√IzI(cosμ + isin μ) Czy może ktoś wytłumaczyć proszę jak to się oblicza ?

ICSP: wzór:

	q + 2kπ		q + 2kπ
n√z = pn{z|(cos		+ isin		)
	n		n

k = {0,1...n−1} Teraz to już nie problem policzyć

ICSP: ⁿ√|z| − nie wiem co ta minka tam robi ...

Stachu: No tak znam ten wzór ale chodzi mi o to że nie mogę zrozumieć jaki kat mam wziąć w miejsce q bo

	π
cos = 0 a sin =		czy mógłbyś mi to jakoś wytłumaczyć ? To jest bardzo proste zadanie
	2

ale właśnie mam mały problem

pomagacz: ⁶√1 = 1 chyba chodzi o ⁶√−1 = ³√²√−1 = ³√i z = i a = 0 b = 1 |z| = √a² + b² = √1 = 1

	a		π
cos(φ) =		= 0 φ =
	|z|		2

	b		π
sin(φ) =		= 1 φ =
	|z|		2

http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zespolone#Pierwiastkowanie

Stachu: pomagacz chodzi o ⁶√1

Stachu: ale rzuciłeś troche światła na mój problem wtedy w moim przypadku a= 1 a b= 0 ale cos=1 dla

	π
α= 0o sin =1 dla α=		no i właśnie który kąt wybrać ?
	2

ICSP: ⁶√1 zapiszmy liczbę 1 w postaci trygonometrycznej: 1 = (cos0 + isin0^o} liczymy pierwiastki: w₀ = ⁶√1(cos 0^o + isin0^o) = 1

	π		π		1		√3
w1 = 1(cos		+ isin		=		+		i
	3		3		2		2

	2π		2π		1		√3
w2 = 1(cos		+ isin		= −		+		i
	3		3		2		2

w₃ = 1(cosπ + isinπ) = −1

	4π		4π		1		√3
w4 = 1(cos		+ isin		) = −		−		i
	3		3		2		2

	5π		5π		1		√3
w5 = (cos		+ isin		) =		−		i
	3		3		2		2

Jak nigdzie się nie pomyliłem to powinno być dobrze. JUż zaczynam przysypiać

Stachu:

	π
Dobra ale powiedz mi skąd bierzesz , jak wyznaczasz i czemu piszesz kąty :		,
	3

	2π
		,...? jest jakaś reguła ?
	3

Stachu: Mógłbym po prostu to przepisać i nie pytać Ciebie ale chciałbym to zrozumieć

ICSP: we wzorze jest :

	q + 2kπ
cos
	n

zauważ że wyznaczyłem już q = 0^o wiem że szukam pierwiastków 6 stopnia czyli n = 6 napisałem też że k = {0,1, ... (n−1} w₀ oznaczam pierwszy pierwiastek i rozpatruję go dla k = 0

	0o + 2 *0π
czyli cos		= cos0
	6

dla w₁ oznaczam drugi pierwiastek i rozpatruję go dla kolejnego k = 1

	0o + 2*1*π		2π		π
cos		= cos		= cos
	6		6		3

w₂ rozpatruję dla k = 2

	0o * 2 * 2π		4π		2π
cos		= cos		= cos
	6		6		3

dla w₃ rozpatruję... ... dla w₅ rozpatruję k = 5

	0o + 2*5π		5π
cos		= cos
	6		3

oczywiście sinusy będą przyjmować takie same wartości kątów.

Stachu: Dzięki wielkie

ICSP: mam nadzieję że już rozumiesz

Stachu: No też mam nadzieję ale żeby się upewnić proszę żebyś sprawdził czy dobrze postępuję: ⁴√−1+i√3 IzI= 2

	1
cosq= −
	2

	1		5π
sinq=		⇒ q=
	2		6

	π		π
w0= 2(cos		+ isin		)
	12		12

Stachu: Sprawdzi ktoś proszę ?

Godzio:

	2		φ		π
No sinus jest chyba trochę inny, φ =		π ⇒		=
	3		4		6

Stachu:

	2		1		2
rozumiem że φ=		π bo cos (−		)= 1200=		π ale nie rozumiem dalszego zapisu
	3		2		3

	φ		π
		=
	4		6

Godzio:

	√3
sinφ =
	2

	φ
liczymy pierwiastek 4 stopnia, więc argument φo =
	4

Stachu: Dzięki

Godzio: To podaj pierwszy pierwiastek jaki będzie, (w postaci algebraicznej), reszta to już formalność

Stachu:

	2
φ=		π
	3

	2		2
w1= √2(cos(		π+π ) + i sin(		π+π))
	3		3

	5		5
w1= √2(cos(		π) + i sin(		π))
	3		3

	π		π		1		√3
w1= √2(cos		− isin(		)= √2(		) − i		}
	3		3		2		2

Dobrze jest ?

Godzio:

	2		π
Po pierwsze co mówiłem o argumencie ? Nie		π tylko		(liczysz 4√.... a nie
	3		6

.... ) Po drugie |z| ≠ √2

	π
Po trzecie, nie + π tylko +		, może pokaże podobny przykład, a Ty spróbujesz ponownie
	2

swój zrobić

Stachu: dobrze

Godzio: Najpierw trochę teorii, Liczba zespolona z = wⁿ ⇒ w = ⁿ√z ma n pierwiastków danych wzorem:

	φ + 2kπ		φ + 2kπ
wk = n√r(cos		+ isin		)
	n		n

Jeżeli φ jest argumentem głównym z to:

	φ		φ
w0 = n√r(cos		+ isin		), a każdy następny wyraz powstaje przez
	n		n

pomnożenie

	φ		φ
przez (cos		+ isin		) (tak chyba łatwiej się oblicza kolejne pierwiastki)
	n		n

Dobra przejdźmy do przykładu: ⁴√√3 − i z = √3 − i |z| = r = 2 ⇒ ⁴√ϱ = ⁴√2

	√3
sinφ =
	2

	1		2		φ		π
cosφ = −		⇒ nasz argument główny φ =		π, a φ0 =		=
	2		3		4		6

	π		π
z0 = 4√2(cos		+ isin		)
	6		6

	π		π
z1 = 4√2(cos		+ isin		)2 lub
	6		6

	π		π		π		π		π
z1 = (cos(		+		) + isin(		+		)) spytasz skąd		? Liczymy
	6		2		6		2		2

	π		2kπ
pierwiastek 4 stopnia, a to		bierze się z		w tym wypadku n = 4 (widać to w 3
	2		n

	φ + 2kπ		φ + 2kπ
linijki tego tekstu co teraz pisze wk = n√r(cos		+ isin		)
	n		n

=

	φ		2kπ		φ		2kπ
wk = n√r(cos(		+		) + isin(		+		)
	n		n		n		n

Stachu:

	π
φ=		Czyli :
	6

	π		π		π		π
w1=4√2(cos(		+		) i sin(		+		) tak ?
	24		12		24		12

Godzio: Hehe już nie dzielisz tego, ja Ci wyliczyłem ten kąt co tam wstawiasz

	2π
φ =		(czyli ten argument główny jego wstawiasz gdy nie masz żadnych pierwiastków n−tego
	3

stopnia)

	φ		π
φo =		=		(argument pierwiastka 4 stopnia)
	4		6

	π		π
wo = 4√2(cos		+ isin		)
	6		6

	π		π
w1 = 4√2(cos		+ isin		)2
	6		6

	π		π
w2 = 4√2(cos		+ isin		)3
	6		6

	π		π
w3 = 4√2(cos		+ isin		)4
	6		6

tyle i tylko obliczyć każdy, albo zastosować wzory Moviera, a tutaj będzie to przydatne

Stachu: dzięki wielkie albo jak wolisz

Godzio: Jesteś jeszcze ? Jeśli tak to poczekaj moment

Godzio: Najpierw napisałem co innego a teraz namodziłem, bo oczywiscie nie przemnaża się przez

	π		π		π		π
(cos		+ isin		) tylko przez (cos		+ isin		) i kolejne pierwiastki
	6		6		2		2

powstają przez przemnożenie właśnie tego czynnika w_o = ok

	π		π
w1 = wo * (cos		+ isin		)
	2		2

	π		π
w2 = w1 * (cos		+ isin		)
	2		2

	π		π
w3 = w2 * (cos		+ isin		)
	2		2

sory za błąd

Stachu: ok dzięki całe szczęście że nie przepisywałem tylko starałem się sam zrobić