zadanie z analizy matematycznej - dowód pauliśka: Udowodnij wykorzystując nierówności między średnimi (arytmetyczna>geometryczna>harmoniczna)

1		1		1		2
	+		+ ... +		>
n		n+1		2n		3

Vax: Z am−hm:

∑i=n2n 1i		n+1
	≥
n+1		∑i=n2n i

⇔

1

(n+1)2

2(n+1)

2

2

2

∑i=n2n

≥

=

=

+

>

i

3n(n+1)/2

3n

3

3n

3

qed.

pauliśka: Vax, a mogę prosić o wytłumaczenie tego?

Vax: 1 nierówność to po prostu nierówność między średnią arytmetyczną a harmoniczną dla n+1 składników: n,n+1,...,2n. Następnie mnożę obustronnie przez (n+1) i zauważam, że (suma ciągu

	3n(n+1)
arytmetycznego) n+(n+1)+...+2n =
	2

pauliśka: z tej pierwszej nierówności to jest tak?

1   1   1   + +...+ n   n+1   2n		n+1
	≥
n+1		n+(n+1)+...+2n

Vax: Tak jest.

pauliśka: ok to rozumiem. tylko jak doprowadzić do takiej postaci z nierówności wyjściowej?

Vax: Ale my nie przekształcamy tezy, tylko wychodzimy od prawdziwej nierówności i wykonując szereg działań dochodzimy do naszej tezy

pauliśka:

	2(n+1)		2
no to coś tu jest nie tak... bo na końcu wychodzi że		>		czyli nie to samo co
	3n		3

teza...

Vax: Czemu? Udowodniliśmy tezę. Mamy pokazać, że L > P, udowodniliśmy, że L > K, oraz, że K > P, czyli L > K > P, więc tym bardziej L > P

pauliśka: dobra już wiem. trzeba było ostatnią linijkę dokładnie rozpisać to bym od razu zajarzyła dzięki za pomoc