xyz Servantes: Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu x² + y² = 16, prostopadłych do prostej o równaniu y = −1/2 + 2.

shaka: Aby styczna do okręgu x²+y²=16 była prostopadła do prostej y=−¹₂x+2,jej współczynnik kierunkowy musi być odwrotny i przeciwny względem współczynnika tej prostej. Z warunku prostopadłości styczna ma więc postać: k=2x+b ,b∊R Podstawiając k=2x+b za y do równania okręgu dostajemy: x²+(2x+b)²=16 ⇒ 5x²+4bx+b²−16=0 Ponieważ styczna ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny,więc trzeba tak dobrać parametr b,aby równanie 5x²+4xb+b²−16=0 miało dokładnie jedno rozw. Czyli Δ musi być równa 0. Δ=(4b)²−4(b²−16)5=−4b²+320. Δ=0 ⇔ −4b²+320=0 ⇒ b²=80 ⇒ b=−4√5 ⋁ b=4√5 Stąd równania stycznych k₁=2x−4√5 lub k₂=2x+4√5.