całki nieoznaczone gwiazda: ∫x²*√x²+9dx jakieś podstawienie się tu stosuje?

Godzio: A nie powinno być minusa pod pierwiastkiem, wtedy to już byłby banał

gwiazda: Nie ma W tym problem bo tak to dało by się łatwo .

Godzio: x² + 9 = t² x² = t² − 9 ⇒ x = √t² − 9 2xdx = 2tdt J = ∫t²√t² − 9dt i teraz t = 3sinu Dalej już wiadomo ?

gwiazda: Właśnie do tego momentu rozumiem , ale co dalej dlaczego sin?

Godzio: t = 3sinu dt = 3cosudu J = ∫27sin³u√9sin²u − 9 = 81∫sin³u√−cos²u Jednak dalej się coś nie zgadza, trzeba inaczej to rozgryźć

gwiazda: A metoda współczynników nieoznaczonych ?

Godzio: Nie znam takowej

gwiazda: Oki trudno, a z taki przykład ∫√8x²+3x+2 dx

Godzio: Ten chyba jakoś zrobię, ale potrzebuje z 20 min żeby dokładnie go porozkładać

gwiazda: Oki mi chodzi o jeden przykład jak sie takie całki robi podobne sama spróbuje Ale metoda tych współczynników nieoznaczonych w dalszych przykładach jak widzę Dziękuję ślicznie

Grześ: podstawienie: x=3tgt ⇒ t=arctg(x/3) czyli t∊<−π/2, π/2>

	1
dx=3		dt, czyli:
	cos2t

	1
∫ (3tgt)2*√(3tgt)2+9*3		dt=
	cos2t

	1		1
=∫ 81*(tgt)2*		*		dt= lecz t∊<−π/2, π/2> czyli cosinus jest
	√cos2t		cos2t

dodatni:

	tg2t
= ∫ 81		dt=
	cos3t

	sin2t
=∫ 81		dt=
	cos5t

	sin2t*cost
= ∫ 81
	(1−sin2t)3

podstawienie: u=sint ⇒ du=cost dt

	t2
∫ 81		dt
	(1−t2)3

Teraz by trzeba było z rozkładu na ułamki proste to zrobić Nie wiem czy czasem nie ma prostszego sposobu

Grześ: Ops.. na końcu z przyzwyczajenia wstawiłem. Miało być:

	u2
∫ 81		du
	(1−u2)3

Godzio: √8x² + 3x + 2 = 8√x² + (3/8)x + 1/4 = 8√(x + 3/16)² + 55/256 = = √55/2 * √(√55(x + 3/16)/16)² + 1 = √55/2 * √(√55(x/16 + 3/256))² + 1 √55(x/16 + 3/256) = t

√55
	dx = dt
16

	16
dx =		dt
	√55

∫√8x² + 3x + 2dx = 8√t² + 1dt https://matematykaszkolna.pl/forum/64111.html tutaj masz policzoną całkę √t² + 1 (wydaje mi się że możesz skorzystać ze wzoru i zapisać od razu wynik)

gwiazda: Właśnie mam mieć kolosa i nikt nie wie czy możemy ze wzorów korzystać czy nie ale dziękuje za pomoc

Trivial: Wszystkie te całki można szybko rozwiązać metodą współczynników nieoznaczonych lub dowolnym podstawieniem Eulera.

Godzio: Trivial mógłbyś zaprezentować ? Chętnie to zobaczę

Trivial: Którą całkę?

Godzio: Pierwszą, bo za nią kompletnie się nie umiem zabrać

Trivial: ∫x²√x²+9dx = J 1. Podstawienie Eulera (np. pierwsze, bo mamy a>0): √x²+9 = t − x /² x²+9 = t² − 2tx + x²

	t2−9
x =
	2t

	t2+9
dx =		dt
	2t2

	t2−9		t2+9
√x2+9 = t −		=		.
	2t		2t

	t2−9		t2+9		t2+9
J = ∫(		)2*		*		dt = ...
	2t		2t		2t2

Godzio: Rzeczywiście banalne, muszę sobie to wbić do głowy

Trivial: 2. Metoda współczynników nieoznaczonych.

	x2(x2+9)		dx
∫x2√x2+9dx = ∫		dx = (Ax3+Bx2+Cx+D)√x2+9 + k∫		dx.
	√x2+9		√x2+9

	dx
Różniczkujemy obustronnie, wyliczamy A,B,C,D i k, a potem liczymy całkę ∫		dx.
	√x2+9

Trivial: O jedno dx za dużo.

Trivial: Są jeszcze ciekawe podstawienia trygonometryczne, ale zazwyczaj bardziej pracochłonne.

gwiazda: A nauczyłam się tych współczynników one są spoko i najlepiej stosować jak wielomian np x² +7 przez pierwiastek A podstawienie eulera proste znam je Trivial dzięki za pomoc całki to wymyśle jak się odwdzięczyć