prawdopodobieństwo Kornelia: Dane są dwa zdarzenia A,B ⊂Ω dla których P(A')>²₃, P(B')≥³₄ i P(A∩B)≥¹₆. Wykaż, że P(A∪B)≤⁵₁₂ Jak to zrobić?

shaka: Z własności prawdopodobieństwa mamy: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Ponadto: P(A')=1−P(A) i P(B')=1−P(B). Z warunków zad wiadomo,że: P(A')>2/3 oraz P(B')≥3/4 Zatem: 1−P(A)>2/3 ⋀ 1−P(B)≥3/4,czyli: P(A)<1/3 ⋀ P(B)≤1/4 i P(A∩B)≥1/6 Zauważmy,że jeśli P(A)<1/3 oraz P(B)≤1/4,to P(A)+P(B)<7/12,ale P(A∩B)≥1/6, stąd wyrażenie: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)≤7/12−1/6=5/12,co należało wykazać.

alabama: Dlaczego w ostatniej linijce mniejsze bądź równe? Nie powinno być tylko mniejsze? Przecież 5/12 można otrzymać jedynie dla P(B)+ P(A) = 7/12, a jak widać P(A)+P(B)<7/12...

alabama: jeśli jest ktoś w stanie udzielić wyjaśnienia choć zapewne rzecz jest banalna, to proszę