Mariusz:
W metodzie Ferrariego nie trzeba rugować wyrazu z x
3 jak to Trivial sugeruje
Poza tym drugiego wymiernego pierwiastka prawdopodobnie nie znajdzie
Może dlatego Ferrarim "bzdury" wychodzą
2x
4−x
3+6x
2−x−1 = 0
8(2x
4−x
3+6x
2−x−1 = 0)
16x
4−8x
3+48x
2−8x−8=0
(16x
4−8x
3)−(−48x
2+8x+8)=0
(16x
4−8x
3+x
2)−(−47x
2+8x+8)=0
(4x
2−x)
2−(−47x
2+8x+8)=0
| | y | | y2 | |
(4x2−x+ |
| )2−((4y−47)x2+(−y+8)x+ |
| +8)=0 |
| | 2 | | 4 | |
| | y | | y−8 | |
(4x2−x+ |
| )2−(4y−47)(x− |
| )2=0 |
| | 2 | | 2(4y−47) | |
| | y | | y−8 | |
(4x2−x+ |
| )2−(√4y−47x− |
| )2=0 |
| | 2 | | 2√4y−47 | |
| | 1 | | y−8 | |
(4x2+(−1+√4y−47)x+ |
| (y− |
| )) |
| | 2 | | √4y−47 | |
| | 1 | | y−8 | |
(4x2+(−1−√4y−47)x+ |
| (y+ |
| ))=0 |
| | 2 | | √4y−47 | |
| | y2 | |
4( |
| +8)(4y−47)−(−y+8)2=0 |
| | 4 | |
(y
2+32)(4y−47)−(y−8)
2=0
(4y
3−47y
2+128y−1504)−(y
2−16y+64)=0
4y
3−48y
2+144y−1568=0
y
3−12y
2+36y−392=0
((y−4)+4)
3−12((y−4)+4)
2+36((y−4)+4)−392=0
(y−4)
3+12(y−4)
2+48(y−4)+64−12((y−4)
2+8(y−4)+16)+36(y−4)+144−392=0
(y−4)
3+12(y−4)
2+48(y−4)+64−12(y−4)
2−96(y−4)−192+36(y−4)+144−392=0
(y−4)
3−12(y−4)−376=0
z=y−4
z
3−12z−376=0
z = u+v
(u+v)
3=u
3+3u
2v+3uv
2+v
3
(u+v)
3=u
3+v
3+3uv(u+v)
u
3+v
3+3uv(u+v)−12(u+v)−376=0
u
3+v
3−376+3(u+v)(uv−4)=0
u
3+v
3−376=0
3(u+v)(uv−4)=0
u
3+v
3−376=0
uv−4=0
u
3+v
3=376
uv=4
u
3+v
3=376
u
3v
3=64
t
2−376t+64=0
(t−188)
2−35280=0
(t−188)
2−7056*5=0
(t−188−84
√5)(t−188+84
√5) = 0
z =
3√188+84√5+
3√188−84√5
y−4=
3√188+84√5+
3√188−84√5
y =
3√188+84√5+
3√188−84√5 + 4
| | 1 | | y−8 | |
(4x2+(−1+√4y−47)x+ |
| (y− |
| )) |
| | 2 | | √4y−47 | |
| | 1 | | y−8 | |
(4x2+(−1−√4y−47)x+ |
| (y+ |
| ))=0 |
| | 2 | | √4y−47 | |
I tutaj raczej nic nie da się uprościć ale tak jak podejrzewałem wymierny pierwiastek jest
tylko
jeden więc i tak z Cardana dalej musiałby rozwiązywać
Nie wychodzą bzdury bo jeżeli dalej będziemy rozwiązywać to wyjdą poprawne pierwiastki
(dwa rzeczywiste i dwa zespolone)
Metody ogólne w których rugowanie wyrazu z x
3 ułatwia rozwiązanie równania
1. Rozkład na czynniki kwadratowe metodą współczynników nieoznaczonych
(przypisywana Descartesowi)
u
4+b
2u
2+b
1u+b
0=(u
2−pu+q)(u
2+pu+r)
Po wymnożeniu trójmianów i porównaniu współczynników
dostajemy układ równań którego rozwiązanie wymaga rozwiązania równania szóstego stopnia
o niezerowych współczynnikach tylko przy parzystych potęgach zmiennej p
Tutaj trzeba uważać na zerowe pierwiastki równania rozwiązującego
bo możemy dostać dzielenie przez zero
Gdybyśmy nie wyrugowali wyrazu z x
3 podstawienie sprowadzające
równanie rozwiązujące szóstego stopnia do równania trzeciego stopnia trudniej zauważyć
2. Uogólnienie metody Niccolo Fontany (tzw wzorów Cardano) na równanie czwartego stopnia
(Pomysł uogólnienia metody Niccolo Fontany pojawia się np w
Vollständige Anleitung zur Algebra Leonharda Eulera)
Równanie rozwiązujące równania trzeciego stopnia sprowadzamy do równania kwadratowego
które ma dwa rozwiązania stąd pomysł że rozwiązanie równania trzeciego stopnia może być
sumą dwóch składników
Równanie rozwiązujące równania czwartego stopnia sprowadzamy do
równania trzeciego stopnia więc dobrym pomysłem byłoby
założenie że rozwiązanie równania czwartego stopnia może być sumą trzech składników
