Wielomiany Duewag: Średnio potrafię rozwiązać takie wielomiany: a) 12x⁴+7x³+7x−12=0 b) x³−7x+6=0 c) x⁴−6x³+9x²=0 d) x⁵+x⁴+3x³+3x²−4x−4=0 Jeżeli ktoś znalazłby chwilkę, byłbym wdzięczny, bo celuję w piątkę na poniedziałkowym sprawdzianie

Patryk: c) wyłącz x² i rozwiąz równanie kwadratowe

Jolanta: Nie masz pomysłu to dziel przez x−p p to pierwiastek wielomianu

Jolanta: wiesz jak go znalezć ?

Duewag: Ok, pierwiastek wiem jak znaleźć. Mam teraz taki przykład: x⁵+x⁴−x³−x²−2x−2=0 Próbowałem liczyć chyba wszystkimi możliwymi sposobami, ale nie wychodzi W(1)=1+1−1−1−2−2≠0 W(−1)=−1+1+1−2−2−2≠0 W(2)=32+16−8−4−4−2≠0 W(−2)=−32+16+8+4−2≠0 Żaden jak widać nie pasuje Próbowałem też liczyć rozkładając x⁴(x+1)−x²(x+1)−2)x+1) = 0 itd. Ale jeden otrzymany pierwiastek nie zgadza się z podaną prawidłową odpowiedzią

Patryk: czyli wielomian ma pierwiastki wymierne

Trivial: Przecież x=−1 jest OK, źle policzone W(−1). 1 1 −1 −1 −2 −2 −1 −1 0 1 0 2 1 0 −1 0 −2 0 W(x) = (x+1)(x⁴−x²−2) = ... Podstawić u = x² i policzyć

Duewag: Heh, prozaiczny błąd, dzięki. Prosiłbym jednak o odpowiedź odnośnie przykładów z pierwszego postu. W jaki sposób je rozwiązać bez konieczności sprawdzania pierwiastków?

Trivial: a) masz równanie symetryczne postaci: ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, a≠0 Które można rozwiązać dzieląc przez x² i wykorzystując odpowiednie podstawienie.

	1		1
a(x2+		) + b(x+		) + c = 0
	x2		x

	1
u = x+		, wtedy:
	x

	1		1
u2 = x2 +		+ 2 → x2+		= u2−2.
	x2		x2

a(u²−2) + bu + c = 0 Δ = ... u₁,u₂ = ...

Trivial: b) można obliczyć ze wzorów Cardano. c) trywialne. d) nic mi nie przychodzi na myśl innego niż zgadywanie.

Bogdan: b) x³ − 7x + 6 = 0 ⇒ x³ − x − 6x + 6 = 0 ⇒ x(x² − 1) − 6(x − 1) = 0 x(x − 1)(x + 1) − 6(x − 1) = 0 ⇒ (x − 1)(x² + x − 6) = 0 ⇒ (x − 1)(x − 2)(x + 3) = 0 d) x⁵ + x⁴ + 3x³ + 3x² − 4x − 4 = 0 ⇒ x⁴(x + 1) + 3x²(x + 1) − 4(x + 1) = 0 (x + 1)(x⁴ + 3x² − 4) = 0 ⇒ (x + 1)(x² − 1)(x² + 4) = 0 (x + 1)(x − 1)(x + 1)(x² + 4) = 0 ⇒ (x − 1)(x + 1)²(x² + 4) = 0

Duewag: w d właśnie próbowałem to rozwiązać równaniem dwukwadratowym, licząc Δ z t²+3t−2) ale też coś źle wyszło

Duewag: Podbijam