Ciągi Kasia: Ciągi − 2 zadanka. Założyłam nowy wątek, bo już był wystarczająco duży chaos w poprzednim. Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc z tymi dwoma zadankami, wydają mi się kosmiczne i prosiłabym o jakieś nakierowanie.. 1.Wyznacz rosnący ciąg geometryczny, wiedząc, że suma wyrazów skrajnych jest równa 34, iloczyn tych wyrazów 64, a suma wszystkich wyrazów ciągu wynosi 62. 2. W ciągu arytmetycznym piąty wyraz równa się 25, a iloraz otrzymany po podzieleniu wyrazu dwunastego przez trzeci jest o 2 większy od ilorazu otrzymanego po podzieleniu wyrazu szesnastego przez ósmy. Znajdź pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

krystek: Witaj Kasiu!

Kasia: Witaj krystek ( nie wiem czy Twoją ksywke się odmienia (?) )

krystek: 2)a₅=25

a12		a16
	=2*		}
a3		a8

kachamacha: zad 2 a₅=25

a12
	−2=U{a16{a8}
a3

rozpisz wyrazy ze wzoru na a_n−ty wyraz ciągu. otrzymasz układ równań z dwiema niewiadomymi a₁ i r

kachamacha: o 2 większy więc −/+

krystek: 1)a₁+a_n=34 a₁*a_n=64 S_n=62. Pamiętaj jakie to sa ciągi i zastosuj odpowiednie wzory.Będę pilotowała .

krystek: dzięki ,musze uważniej ,wczytywać się w treśc.Pobieżność psu na budę się zda!

kachamacha: po to jesteśmy ja też za szybko czytam

Kasia: co do zadania 2. wyliczyłam r na razie ( aż mnie głowa rozbolała od tych rachunków) i wyszło mi

	2
−41		, proszę powiedzcie, że tak ma wyjść bo jak nie to chyba się załamie
	125

kachamacha: już liczę

Kasia: ok, czekam cierpliwie

krystek: Kasiu ,spokojnie poczekaj na wynik kachamachy nie zniechęcaj sie .I aby nie robić mętliku trzymaj się Jej wskazówe.

kachamacha:

	50
r1=		, r2=5
	11

Kasia: krystek, przecież napisałam, że czekam cierpliwie noooo świetnie xD tak też myślałam, że zbyt dziwaczny wynik mi wyszedł, przeglądne raz jeszcze, a jeśli nie doszukam się błędu to przepisze wszystkie działania to może Wam się uda wychwycić mój błąd, ok?

Kasia: a , już widze ,że zamiast r² pisałam r, zaraz poprawie i mam nadzieję, że wyjdzie tak jak ma wyjść

kachamacha: ten pierwszy jest z minusem

kachamacha: czekam i bede pomagać

Kasia: poprawiłam, ale delta mi wyszła jakaś kosmiczna znowu o.O Δ = 284425 chyba nie taka ma wyjść, co nie?

kachamacha: Δ powinna wyjsc 11025

Kasia: Kasiu − spokojnie, wdech, wydech, hahaha no to przeglądne jeszcze raz obliczenia..

Kasia: nie no, teraz mi wyszła delta 11377, mam dość, pisze po kolei wszystkie obliczenia, daj mi jakieś 5−10 minutek

kachamacha: oki

Kasia: { a₁ + 4r = 25

	a1+11r		a1 + 15 r
{		− 2 =
	a1+2r		a1+7r

{a₁ = 25 − 4r

	25 − 4 r + 11r		25−4r +15r
{		− 2 =
	25−4r+2r		25−4r+7r

{ a₁ = 25 − 4r

	25+ 7r		25+11r
{		− 2 =
	25−2r		25+3r

{a₁ = 25 − 4r

	(25+11r)(25−2r)
{ 25+7r − 50 + 4r =
	25+3r

{a₁= 25 − 4r

	625 − 50 r + 275 r − 22r2
{ 25 + 7r − 50 + 4r =
	25+3r

{a₁ = 25− 4 r { (−25 + 11r)(25+3r) = −22r² + 225 r + 625 { a₁ = 25 − 4r { −625 − 75 r + 275 r + 33r² = −22r² + 225r+665 {a₁ = 25 − 4r { 55r² − 25 r − 1290 = 0 / : 5 {a₁ = 25 − 4r {11r² − 5r − 258 = 0 Δ = (−5)² − 4*11 * (−258) Δ = 25+11352 Δ= 11377

Kasia: ufff, kachamacha jeśli znajdziesz gdzieś u mnie ten głupi błąd to z góry Ci dziękuję

kachamacha: skorzyłaś z proporcji i mnożyłas "na krzyż"?

krystek: Jak moge zauważyć to źle przepisałas po prawej stonie zamiast625 napisałaś 665(3 linia od końca )

Kasia: gdzie, gdzie? jeśli Ci chodzi o pozbywanie się mianownika, to mnożyłam obustronnie najpierw przez mianownik z lewej strony, a następnie przez ten z prawej strony : )

Kasia: RACJA! już sobie poprawiam i mam nadzieję, że W KOŃCU wyjdzie mi poprawnie !

kachamacha:

25+7r−2(25−2r)		25+11r
	=
25−2r		25+3r

to jest moment gdzie sprowadziłam 2 do ułamka (wspólnego mianownika) i potem po przekształceniu wyrazenia skorzystałam z proporcji

krystek: Kasiu ,rada na przyszłość nie przepisuj 1−szego równania .Podkreśl i zostaw .

Kasia: WYSZŁO, WYSZŁO, WYSZŁO, aaaaaaaaaaa! pierwszy raz mam taką radość z rozwiązania zadania z matmy, haha to teraz musze chwile odpocząc i za jakieś 10, 15 minutek wezme się za to 1. zadanko, będę mogła liczyć na malutką pomoc jeśli i z nim będe mieć jakiś problem? Mam jednak nadzieję, że tym razem pójdzie to sprawniej

krystek: kasia najpierw pomnożyła przez pierwsz mianownik apotem przez drugi(utrudniła sobie)

kachamacha: poczekamy

Kasia: mam taki nawyk ze szkoły.. a na maturze nie uznaliby tego za błąd? jako że nie mogliby się połapać czy coś?

Kasia: oj, może i utrudniłam sobie, ale sumą sumaru wyszło , wyszło!

krystek: , za dociekliwośc i cierpliwość w dochodzeniu do celu!

kachamacha: może maksymalnej ilości punktów nie miałabys ale zawsze te 2−3 punkty wskoczyłyby

Kasia: dziękuję bardzo! a ja Wam bardzo dziękuję za cierpliwość do mnie, a w szczególności kachamachy, bo można chyba się załamać jeśli ktoś taki głupi błąd popełnia i przez to 30 minut się liczy

Kasia: to już wole pisać zawsze to pierwsze równanie jeśli za to mogłabym coś stracić ( za zwykłe lenistwo)

kachamacha: chciałabym z takimi uczniami pracować−bo nie poprzestają i dalej "walczą"

krystek: kachamacha życzę Tobie takich uczniów w codziennej pracy!

Kasia: ale mi komplementy prawicie teraz to dopiero zmotywowałyście/liście mnie do wytrwałości w rozwiązywaniu zadań z matematyki

kachamacha: i o to chodzi w całej tej zabawie−pracy

Kasia: to jeśli mogę spytać, to jest Pani nauczycielką? przepraszam, że tak na 'ty' wcześniej, ale tak prościej, a nigdy nie wiadomo kto jest po drugiej stronie, w jakim wieku itd

kachamacha: tutaj po prostu jestem kachamacha,w szkole nauczycielem,czasem zołzowatym

Kasia: dobrze e tam, czasami trzeba przykręcić śrube ( ale nie za często! )

krystek: Dlatego korzystaj z życzliwości innych na tym forum !

Kasia: korzystam ok, zabieram się do tego pierwszego. a₁ + a_n = 34 a₁*a_n = 64 Sn = 62

	1−qn
62 = a1 *
	1−q

pytanie co dalej ?

krystek: I jest to c geometr więc a_n=a₁*qⁿ⁻¹ i podstaw spróbuj wyliczyć

kachamacha: a₁+a₁gⁿ⁻¹=34 a₁*a₁gⁿ⁻¹=64 a₁gⁿ⁻¹=34−a₁

	34−a1
gn−1=
	a1

	34−a1
a1*a1*		=64
	a1

i wylicz a₁

kachamacha: brzydki wynik mi wychodzi

ICSP: ale 2 nie jest brzydkie

kachamacha: ładny,pomyliłam się. Δ=900

Kasia: przepraszam, nie było mnie przy komputerze. ale skąd się wzielo to an = a₁*q do n−1 ? bo ja w ogole nie brałam takiego wzoru z tego co przeglądam zeszyt.. mam jedynie taki : an² = an+1 *an −1

kachamacha: ale jeszcze jest wzór na a_n−ty wyraz

kachamacha: https://matematykaszkolna.pl/strona/279.html

Kasia: ok, rozumiem teraz spróbuje wyliczyć to a₁

Kasia: i zaczyna się to samo... eh.. pisze obliczenia

	34 − a1
a1*a1 *		= 64
	a1

	34− a1
a12 *		= 64
	a1

34a12 − a13
	= 64 / *a1
a1

34a₁² − a₁³ − 64a₁ = 0 −a₁³ + 34a₁² − 64 a₁ = 0 −a₁(a₁² +34a₁ − 64) = 0 Δ = 34² − 4*1 * (−64) Δ = 1156 + 256 Δ = 1412 gdzie zrobiłam błąd?

kachamacha: na początku skróć a₁ otrzymasz 34a₁−a₁²−64=0

kachamacha: jak wyłączyłaś a₁ to w znakach masz błąd ...−34a₁+64

Kasia: no tak.. to mam już poprawną delte, teraz wylicze a₁ , wyjda pewnie dwie mozliwosci, to obie się liczą? co później?

kachamacha: ciąg jest rosnący. a₁ wyjdzie 2 oraz 32 −trzeba odpowiednie wybrać

Kasia: jak mam wybrać? obie są liczbami dodatnimi..

kachamacha: dla 32 ciąg jest malejący (widac po sumie), g jest tam ułamkiem a dla 2 jest dobrze

kachamacha: dla a₁=2 wyszło mi g=2

kachamacha: do wzoru na sumę wstawiłam po a₁=2. podzieliłam obustronnie przez 2. do wzoru na gⁿ⁻¹ podstawiłam po a₁=2. przekszłatciłam do postaci 16g=gⁿ. takie gⁿ wstawiłam do tego przekształconego wzoru na sumę i dostałam g=2

Kasia: daj mi 5 minutek jeszcze, rozpisze sobie to wszystko po kolei i spróbuje po kolei zrozumieć jak to zrobiłaś

kachamacha: ok

Kasia: rozumiem wszystko oprócz tego przekształcenia z qⁿ⁻¹ =16 do postaci 16g = qⁿ , nie widzę tego kompletnie, prosiłabym Cie bardzo o wytłumaczenie

kachamacha: gⁿ⁻¹=16

gn		16
	=
g		1

16g=gⁿ

Kasia: zgadza się, nawet na przykladach sobie probowalam wytlumaczyc skad to gn przez g się wzięło, ale nadal nie wiem dlaczego akurat to się tak przekształca.. może to jest banalne, ale do końca tego nie widze

krystek: Postaw na milion obejrzałam ,a Wy ładnie liczycie. Kasia jest wytrwałą.Brawo!

krystek: Z działan na potęgach gⁿ*g⁻¹

Kasia: aaaaaaaaaaaaaaa no tak, teraz już wszystko rozumiem ! Misja zakończona nie wiem naprawdę jak mam Ci dziękować kachamacha! Oby więcej takich nauczycieli jak Ty było na świecie, to na pewno więcej osób polubiło by matematyke i zdawalność na maturze by się zwiększyła DZIĘKUJĘ

kachamacha: ehhh

krystek: