w okrąg o równaniu ... agata: W Okrąg o równaniu x²+y²-4x-8y-5=0 jest wpisany trójkąt ABC, którego wierzchołki A i B leża na osi x. Bok BC jest 5 razy dłuższy od boku AC, a kąt przy wierzchołku A jest rozwarty. Oblicz współrzędne wierzchołków tego trójkąta i jego pole. gdzieś popełniam błąd ..

Basia: rozwiązuję

Basia: x² + y² - 4x - 8y - 5 = 0 (x - 2)² - 4 + (y - 4)² - 16 - 5 = 0 (x-2)² + (y-4)² = 25 S(2;4) r =5 punkty A i B to punkty przecięcia okregu z osią OX kazdy punkt na osi OY ma rzędną = 0 (y=0) czyli (x-2)² + (-4)² = 25 x² - 4x + 4 + 16 =25 x² - 4x - 5 = 0 Δ = 16 + 20 = 36 √Δ = 6 x₁ = (4-6)/2 = -1 x₂ = (4+6)/2 = 5 A(-1,0) B(5,0) BC = 5*AC √(x_c -5)² + y² = 5*{(x_c+1)² + y²} obustronnie do kwadratu (x - 5)² + y² = 5(x+1)² + 5y² x² - 10x + 25 + y² = 5x² + 10x + 5 + 5y² 4x² + 20x + 4y² = 25 ------------------------------------ mnożę równanie okręgu przez -4 - 4x² - 4y² + 16x + 32y + 20 = 0 4x² + 4y² + 20x - 25 = 0 ------------------------------------------------- 36x + 32y = 5 y = (5-36x)/32 y = -9x/8 + 5/32 punkt C musi leżeć na tej prostej chyba się gdzieś pomyliłam w rachunkach, bo straszne rzeczy wychodzą sprawdzę to jeszcze raz, ale to potrwa

Bogdan: x² - 10x + 25 + y² = 5x² + 10x + 5 + 5y² 4x² + 20x + 4y² = 25 tu jest błąd, powinno być 4x² + 20x + 4y² = 20

Basia: oczywiście, że się pomyliłam (x - 5)² + y² = 5(x+1)² + 5y² 5x² + 10x + 5 + 5y² - x² + 10x - 25 - y² = 0 4x² + 4y² + 20x - 20 = 0 -4x² - 4y² + 16x + 32y + 20 = 0 ------------------------------------------------- 36x + 32y = 0 /:4 9x + 8y = 0 y = -9x/8 ------------------------- punkt C musi leżeć na tej prostej ale musi też leżeć na okręgu x² + y² - 4x - 8y - 5 = 0 x² + (-9x/8)² - 4x - 8*(-9x/8) - 5 = 0 x² + 81x²/64 - 4x + 9x - 5 = 0 (64x² + 81x²)/64 + 5x - 5 = 0 /*64 145x² + 5*64*x - 5*64 = 0 Δ = 5²*64² + 4*145*5*64 = 5*64(5*64 + 4*145) = 4*5*64(5*16 + 145) = 4*5*5*64(16 + 29) = 2²*5²*8²*45= 2²*3²*5²*8²*5 √Δ = 2*3*5*8*√5 = 240√5 x₁ = (-320 - 240√5)/290 = (-32 - 24√5)/29 x₂ = (-320 + 240√5)/290 = (-32 + 24√5)/29 24√5 > 24*2 = 48 x₂ > 0 kat przy A rozwarty ⇒ x_c < x_a = -1 x_c = -8(4 + 3√5)/29 y_c = 9(4 + 3√5)/29 a = AB = √(5+1)²+ (0-0)² = √6² = 6 h = y_c = 9(4 + 3√5)/29 P = a*h/2 dość paskudne, ale jak widać dom policzenia może jeszcze jest gdzieś błąd w rachunkach

Bogdan: 145x² + 5*64*x - 5*64 = 0 można było tu podzielić przez 5, 29x² + 64x - 64 = 0 Δ = 64² + 4*29*64 = 64(64 + 116) = 64*180 = 64*36*5, √Δ = 48√5

Bogdan: Obliczenia rzeczywiście paskudne.