Rozwiązać w liczbach naturalnych układ osioł: Rozwiązać w liczbach naturalnych układ NWD(x,y) = 83 5x + 7y = 2573

Vax: z 1 mamy x=83a , y=83b wstawiamy do 2: 5*83a+7*83b = 2573/:83 5a+7b = 31 7b = 31 (mod 5) 2b = 1 (mod 5) /*3 b = 3 (mod 5) b = 5k+3 5a + 7(5k+3) = 31 5a + 35k+21 = 31 5a = 10−35k/:5 a = 2−7k (a,b) = (2−7k , 5k+3) a,b przyjmie wartości naturalne jedynie dla k=0, będą to (a,b) = (2,3) co da nam (x,y) = (166,249)

ICSP: Vax mam dla ciebie pewne zadanie

Vax: No to pokaż, ale za 10min będę musiał lecieć

ICSP: rozwiąż w liczbach całkowitych układ równań : 2^x + 3 = 5^y

Trivial: NWD(x,y) = 83 ⇒ x = 83u, y = 83v, u,v∊N. 5*83u + 7*83v = 2573 5u + 7v = 31

	31−7v
u =		.
	5

Teraz wystarczy rozpatrzeć kilka opcji. v = 1 − nie v = 2 − nie v = 3 − TAK! v = 4 − za dużo.

	31−7*3		10
u =		=		= 2.
	5		5

x = 83*2 = 166 y = 83*3 = 249

Vax: Całkowitych dodatnich ofc? 2^x = 5^y−3, załóżmy, że x ≥ 2 wtedy w szczególności 4 | 5^y−3 ⇔ 5^y = 3 (mod 4) ⇔ 1 = 3 (mod 4) skąd sprzeczność, czyli x=1 co nam daje (x,y) = (1,1)

Trivial: Vax zawsze musi być szybszy......... (...) ....

Vax: , Dobra ja lecę już się uczyć na sprawdzian z angielskiego i rosyjskiego.. Ale co jakiś czas będę zaglądał ofc

osioł: dziękuję bardzo za rozwiązanie

osioł: mam jeszcze pytanie: co oznacza ( mod 5) ?

Vax: Resztę z dzielenia przez 5.