Zespolone ZKS: Trivial lub kto inny kto rozumie mógłby mi wytłumaczyć zadanie: Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej: z + |z| = 2

	z− + 1
Re(		) = 1
	z

Trivial: Trzeba rozpisać: z = x+yi z* = x−yi. Coś tam powyliczać i wyjdzie. W pierwszym zauważ, że na pewno y=0, bo z jest jedynym składnikiem, który może być zespolony.

Basia: z= x+yi |z| = √x²+y² z + |z| = 2 x+yi + √x²+y² = 2 x+yi = 2−√x²+y² a to po prawej to liczba rzeczywista ⇒ y=0 i masz x = 2−√x² √x² = 2−x /()² x² = 4 − 4x + x² 4−4x=0 x=1 to jest jeden punkt P(1, 0)

Godzio:

x − yi + 1		(x − yi + 1)(x + yi)
	=		= U{x2 + y2 + x + i(..)}{x2 +
x + yi		x2 + y2

y²}

	x
1 +		= 1
	x2 + y2

x = 0 −− czyli co ? tylko to chyba nie ?

Trivial: Panie Godziu, mnożymy licznik i mianownik przez x−yi, a nie x+yi.

ZKS: Właśnie do pierwszego wszyło mi y = 0 jako że Im(z) = 0. Czyli po prostu w pierwszym mam zaznaczyć na płaszczyźnie punkt P = (1 ; 0)?

Godzio: No wiem wiem, już śpię ale poprawie dla własnej satysfakcji

Trivial: ZKS tak.

Godzio:

(x − yi + 1)(x − yi)		x2 − y2 + x − yi − 2xyi
	=
x2 + y2		x2 + y2

Czyli:

x2 − y2 + x
	= 1
x2 + y2

x² − y² + x = x² + y² 2y² = x

	x
y2 =
	2

I na płaszczyźnie zespolonej będzie to samo co na zwykłej ?

Trivial: Tak, dlatego piszemy z = x + yi żeby potem było łatwo narysować.

Basia: Godziu chciałeś mi coś opowiedzieć. No to jestem.

ZKS:

	π
Okej dzięki wam. A kolejne jak mam Arg(z) =		to rysuję prostą zaczynając od początku
	3

płaszczyzny czyli punktu P = (0 ; 0) nachyloną pod kątem 60^o i to będą wszystkie te punkty leżące tam?

Trivial: Tak.

Basia: nie prostą, tylko półprostą leżącą w I ćwiartce; prosta nie ma początku, półprosta tak w p−cie O(0,0) reszta w porządku

Trivial: terminologia.

Godzio: Basia zobacz tu: https://matematykaszkolna.pl/forum/65559.html a dokładnie na tytuł tematu, "znajomy Kamila" i po tym mogę być pewny że to właśnie Kamil (tak sobie o tym przypomniałem wpisałem w wyszukiwarkę i wyskoczyło) coś ostatnio go nie widać, ale teraz jest ktoś taki jak "Tancerz" i on mi też łudzącą przypomina Kamila to ja już nie wiem czy to 3 inne osoby czy 3 te same

Trivial: Jeśli mogę się wtrącić, to Tancerz daje zadanka na innym poziomie.

ZKS: Tak tak Basiu napisałem głupotę chodziło mi oczywiście o półprostą. Dziękuję jeszcze raz za rozwianie moich wątpliwości i naprowadzenie mnie.

Godzio: wiem, ale słownictwo jakiego używa jest dokładnie takie same

Godzio: Elementy statystyki opisowej.Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka − tak nazwał ostatnio temat, może po prostu ma nowy dział

Basia: prawdopodobnie masz Godziu rację, chociaż możliwe, że zdążył przeczytać te plotki o nim przed skasowaniem i stąd ten znajomy chociaż coś mi się majaczy, że ktoś kiedyś pisał, że tę stronę polecił mu Kamil, nie on przypadkiem ? to by potwierdzało Twoje domysły

Godzio: No właśnie on, ten post też znalazłem

Godzio: A jeszcze jedno, Piotr zniknął pojawił się Tancerz

Basia: W takim razie to Kamil, on naprawdę dostał się na jakieś studia. Panie miej nas wszystkich w swojej opiece. Już nikomu bez literek dr hab. przed nazwiskiem nie będzie można zaufać. No bo każdy poniżej to może być on.

Trivial: CSI: forum zadankowe.

Basia: Postów Tancerza na razie chyba mało czytałam. Też taki pojętny i upierdliwy ?

Godzio: Dopiero 2 dni był, ale po postach widzę że trochę tak

Trivial: możecie mi przybliżyć historię Kamila? Widzę, że to interesujący przypadek.

Mateusz: Dokładnie tak samo pomyslałem ze nasz forumowy znajomy dostał sie na studia i zmienił tylko nick

Godzio: Wpisz sobie w wyszukiwarkę "Kamil Godzio" −− to coś podonego do przypadku naszego Piotra, z tym że z LO

Godzio: I zjedź trochę niżej, bo na początku może być jakiś zwykły Kamil

Trivial: "Ty masz wiele książek pewnie Godzio" Leżę

Godzio: https://matematykaszkolna.pl/forum/55174.html −− tutaj na dole dał rysunek do sprawdzenia, niczym nasz Piotr

ZKS: |z| + Re(z) > 1 √x² + y² + x > 1 √x² + y² > −x + 1 / ² x² + y² > x² − 2x + 1 y² > −2x + 1 Dobrze jest tak przekształcone?

Godzio: Śmiesznych ludzi można tu spotkać

Trivial: Widzę, że jest ostro.

Trivial: ZKS: założenie odnośnie pierwiastka: −x+1 > 0

Trivial: A nie, jest znak większości, więc nie trzeba.

ZKS: Dla x > 1 będzie zawsze to spełnione a dla x ≤ 1 mogę podnieść do kwadratu o to chodzi Trivial?

Trivial: tak.

ZKS: To jeszcze ostanie i daję już spokój. z ∊ C : z⁶ − z⁻⁶ ∊ R

Basia: ZKS trzeba skończyć czyli będą to wszystkie punkty dla których: 1. −2x+1<0 i y dowolne 2. −2x+1=0 i y=0 (jeden punkt) 3. −2x+1>0 i ( y> √−2x+1 lub y< −√−2x+1 (zewnętrze paraboli y² = −2x+1 dla x<¹₂) praktycznie to cała płaszczyzna minus ta parabola i to co między jej ramionami plus jej wierzchołek

ZKS: Rozumiem Basiu. Tylko jeszcze to ostanie prosiłbym o wytłumaczenie bo za to mi ciężko się zabrać.

Trivial: z = |z|(cosφ+isinφ) z≠0. z⁶ − z⁻⁶ = |z|⁶(cos6φ+isin6φ) − |z|⁻⁶(cos6φ−isin6φ) = OK, jeśli: |z|⁶sin6φ + |z|⁻⁶sin6φ = 0 sin6φ(|z|²+|z|⁻⁶) = 0 sin6φ = 0 6φ = π lub φ=0

	π
φ=		.
	6

Hmm... Basiu, przeanalizuj proszę, bo już trochę śpię.

Trivial: Ah... 6φ = 0 + kπ

	π
φ = k		.
	6

Trzeba teraz narysować te, które są z przedziału [0, 2π). Teraz chyba dobrze.

Basia: hm................. kłopot w tym, że wzory Moivre'a są udowodnione wyłącznie dla wykładników naturalnych n i wykładników postaci ¹_n

Trivial: A postać z=|z|e^iφ?

Basia: właśnie myślę jak ją tu wykorzystać, bo chyba tylko z niej

b.: czy miałaś na myśli Basiu, że wzory Moivre'a są dla n całkowitych?

b.: jeśli chodzi o Twoje zadanie, to podstaw y=z⁶ i zastanów się najpierw, dla jakich y∊C mamy y−1/y ∊ R

ZKS: Założenie y ≠ 0 y = 1 ∨ y = −1

b.: e nie, to trochę za mało... widać od razu, że wszystkie niezerowe rzeczywiste są dobre podstawmy może y = a+bi, gdzie a,b ∊ R...

ZKS:

	1		(a + bi)2 − 1		(a + bi − 1)(a + bi + 1)
a + bi −		=		=		⇒
	a + bi		a + bi		a + bi

⇒ a ≠ −b (a + b = 1 ∨ a + b = −1) O to chodzi b.?

b.: hmm raczej nie, chodzi w końcu tylko o to, czy część urojona jest zero w sumie można łatwiej:

	y sprzężone
y − 1/y = y −
	|y|2

i stąd widzimy, że znak Im(y − 1/y) jest taki sam, jak znak Im(y). w szczególności Im(y − 1/y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Im(y)=0, czyli gdy y jest rzeczywiste teraz tylko kwestia rozwiązania z⁶ = y ∊R\{0}

Basia: mniej więcej o to, ale zapisałabym to tak

	a2+2abi − b2 −1
=
	a+bi

i trzeba by było jeszcze pomnożyć licznik i mianownik przez a−bi

	(a2+2abi − b2 −1)(a−bi)
=		∊ R ⇔ licznik ∊ R
	a2−b2

i coś już powinno z tego wyjść, ale może b. ma lepszy pomysł

b.: jeszcze taka uwaga: jeśli chodzi o to, jak przekształcać, to naszym celem jest obliczenie części urojonej (i przyrównanie jej do zera), więc nie ma sensu zamiana a+bi na

	(a+bi)2
		...
	a+bi

dobranoc

ZKS: Okej dzięki b. i Basiu. Dobranoc

Basia: b. cytuję: i stąd widzimy, że znak Im(y − 1/y) jest taki sam, jak znak Im(y). co rozumiesz przez znak Im ? bo Im(y − ¹_y) nie musi = Im(y) y = 1+i

1		1		1−i
	=		=
y		1+i		2

	1		2(1+i) + 1−i		3+i
y −		=		=
	y		2		2

Im(y) = 1 Im(y−¹_y) = ¹₂ chyba, że coś poknociłam

Basia: poknociłam, ale i tak nie są równe

	1		2(1+i) − 1+i		1+3i
y −		=		=
	y		2		2

im(y−1/y) = ³₂

b.: ale mają taki sam znak −− obie dodatnie, i o to mi chodziło

Basia: ok. teraz rozumiem, ale w ogóle to jakieś zaćmienie umysłu mnie dopadło i gigantyczną bzdurę napisałam oczywiście najprostsze i stuprocentowo poprawne jest rozwiązanie Triviala nie wiem teraz co tam zobaczyłam "nie tak", bo jest właśnie tak sin6α=0 6α=2kπ

	kπ
α=
	3

	π		2π		4π		5π
α = 0,		,		, π,		,
	3		3		3		3

a ponieważ |z| może być dowolny byle |z|≠0 będą to wszystkie liczby postaci z = √x²+y²(cos0 + isin0) = √x²+y² co daje wszystkie liczby R₊

	1		√3
z = √x2+y2(cosπ3 + isinπ3) = √x2+y2(		+ i		) =
	2		2

√x2+y2		√x2+y2
	*(1 + i√3) gdzie znowu		wygeneruje dowolną R+
2		2

	1		√3
z = √x2+y2(cos2π3 + isin2π3) = √x2+y2(−		+ i		) =
	2		2

√x2+y2		√x2+y2
	*(−1 + i√3) gdzie znowu		wygeneruje dowolną R+
2		2

z = √x²+y²(cosπ + isinπ) = √x²+y²(−1 + i*0) = − √x²+y² co daje dowolną liczbę R_ itd. itd. graficznie będzie to suma prostych y = 0 y = √3x bo tg^π₃ = √3 y = −√3x ( z pozostałych trzech kątów wychodzą już te same proste) minus punkt O(0,0)

Basia: Trivial bardzo przepraszam (patrz wyżej) chyba byłam bardziej zmęczona niż Ty

Trivial: Spokojnie, Basiu. Ja się nie gniewam.