Nierówność wykładnicza Sylwia: 2^sinx + 4^sinx + 8^sinx + ... ≤ 1 2^−cosx + 4^−cosx + 8^−cosx + ... ≤ 1 Jak mam się za to zabrać? Mógłby ktoś opisać po kolei wykonywane kroki?

Grześ: Ja pokaże, chwilka

ehhh: daj do tej samej podstawy czyli np 2^2sinx

Trivial: a) Wykorzystamy podstawienie u = 2^sinx, wtedy: u + u² + u³ + ... ≤ 1 Otrzymaliśmy sumę szeregu geometrycznego, czyli:

u
	≤ 1 przy założeniu |u|<1.
1−u

I dalej już dasz radę.

Trivial: Z tym, że to nie jest szereg geometryczny. Hm.....

Sylwia: Ogólnie z takimi nierównościami sobie radzę, tylko w ogóle nie ogarniam trygonometrii i dlatego mam problem...

Trivial: Aha jest... Dobra wszystko jest OK.

Grześ: Jak widzimy po lewej stronie musimy mieć nieskończony ciąg geometryczny: 2^sinx+(2^sinx)²+(2^sinx)³+..... ≤1 L=2^sinx+(2^sinx)²+(2^sinx)³+..... , q=2^sinx, warunek: |q|<1, czyli: |2^sinx|<1 ⇔ 2^sinx<1 ⇔ sinx<2 ⇔ x∊R Czyli:

	2sinx
L=		≤1, wprowadź zmienną pomocniczą:
	1−2sinx

t=2^sinx i policz Podobnie b)

Sylwia: nie rozumiem po słowie "czyli"

Trivial: https://matematykaszkolna.pl/strona/297.html

Godzio: Oj 2^sinx < 1 ⇔ sinx < 0

Sylwia: Trivial, no wiem, ale dlaczego ta wartość bezwzględna jest rozbita tylko do połowy?

Sylwia: No Godzio i teraz jest git

Sylwia: ok, juz wiem

Trivial: Drugie identycznie. u = 2^−cosx.

Żaba...: Trivial a może i mu pomozesz ?

Sylwia: nie no nie kminie tego... Doszłam do tego, że sinx≥−1 i sinx≤0 , czyli sinx∊<−1;0>. Co dalej?

Sylwia: Może mi ktoś powiedzieć co dalej? Nie ogarniam w ogóle fukcji trygonometrycznych...

Trivial: Najpierw rozwiązujemy warunek |u|<1, czyli: −1<u<1 Ale u=2^sinx, czyli u>0, zatem! 0<u<1 (W) Teraz przechodzimy do właściwej części zadania:

u
	≤ 1
1−u

Jako, że |u| < 1 wyrażenie (1−u) > 0, czyli możemy pomnożyć obustronnie przez (1−u), a znak nierówności nie ulegnie zmianie. u ≤ 1−u 2u ≤ 1

	1
u ≤
	2

Wracamy do zmiennej x.

	1
2sinx ≤		/log2
	2

sinx ≤ −1 Czyli pasuje tylko rozwiązanie sinx=0, bo sinx nigdy nie przyjmuje wartości (−∞, −1). Zatem: sinx = 1 x = ...

Trivial: ... Przy końcu dziwne błędy Czyli pasuje tylkoe rozwiązanie sinx=−1 ... zatem: sinx = −1 x = ...

Sylwia: nie miałam logarytmów

Sylwia: jak było ze sinx≤−1 to dlaczego nagle sinx=0 ?

Trivial: No właśnie nie wiem dlaczego. poprawiłem błędy niżej.

Sylwia:

	π
odp do zadania jest taka: x=−		+ 2kπ, k∊C
	2

Trivial: nom, czyli mam dobrze po poprawce 21:37. Wystarczy rozwiązać sinx = −1, co już proste.

Trivial: Aha i jeśli nie miałaś logarytmów to:

1
	= 2−1
2

2^sinx ≤ 2⁻¹ sinx ≤ −1

Sylwia: no tak,ale dlaczego mam rowiazywac rownanie jesli tam wszedzie sa nierownosci?

Sylwia: spoko, poradziłam sobie bez logarytmów.

Godzio: Nierówność sinx ≤ −1 jest równoważna z sinx = −1 bo − 1 ≤ sinx ≤ 1

Trivial: "Czyli pasuje tylko rozwiązanie sinx=−1, bo sinx nigdy nie przyjmuje wartości z (−∞, −1)"

Sylwia: i tak jest zawsze przy nierównościach trygonometrycznych, że są równoważne z równaniami?

Trivial: tylko czasami, raczej rzadko.

Sylwia: a dlaczego jest +2kπ?

Trivial: https://matematykaszkolna.pl/strona/1571.html Jest tam nawet przypadek sinx=−1.

Trivial: Tylko nie dodają +2kπ, ale jest wykres i widać dlaczego.