Całka i pochodna Ania: Hej Czy ktoś może mi pomóc potrzebuje porady jak obliczyć ∫(ln|x|)³ i pochodną ((ln|x|)³)'

Grześ: Całkę trzeba 3 razy przez części. Pierwszy krok: u'=1 u=x

	1
v=(ln|x|)3 v'=3(ln|x|)2*
	|x|

nie wiem czy coś zmienia się jak jest ten moduł nałożony.. hmm

Trivial: Zaczniemy od prostszego zadania, czyli od pochodnej. Reguła łańcuchowa [f(g(x))]' = f'(g(x))*g'(x). Lub zapisana w innej notacji: z = z(t), t = t(x);

dz		dz	dt
	=			.
dx		dt	dx

	1
[(ln|x|)3]' = 3(ln|x|)2*(ln|x|)' = 3(ln|x|)2*		.
	x

Trivial: Grzesiu. (|x|)' = sgn(x), x≠0 Czyli się i tak 'skróci'

	1
(ln|x|)' = ln|x|*		*sgn(x) = K
	|x|

Ale |x| = sgn(x)x, czyli

	1
K = ln|x|*		.
	x

Trivial: Tak tylko że piszę herezję. Powinno być bez ln|x| potem. Zmylił mnie wcześniejszy przykład.

Grześ: Własnie z modułem nigdy nie liczyłem.. muszę sobie to zapisać Trivial, dzięki za uwagę

Ania: Bardzo dziękuje Wszystko jasne Pozdrawiam

Trivial: Można wyprowadzić wzór redukcyjny liczenia takich całek.

	u=lnnx v'=1 u'=nlnn−1x*1/x v=x		1
∫(lnx)ndx =		=xlnnx − ∫nlnn−1*		*xdx =
			x

= xlnⁿx − n∫lnⁿ⁻¹dx. Weźmy: F_n(x) = ∫lnⁿxdx wtedy: F_n(x) = xlnⁿx − nF_n−1(x) F₀(x) = ∫ln⁰xdx = ∫1dx = x+c. Pozbędziemy się rekurencji. F_n(x) = xlnⁿx − nF_n−1(x) = xlnⁿx − n[xlnⁿ⁻¹x − (n−1)F_n−2(x)] = xlnⁿx − nxlnⁿ⁻¹x + n(n−1)F_n−2(x) = xlnⁿx − nxlnⁿ⁻¹x + n(n−1)[xlnⁿ⁻²x − (n−2)F_n−3(x)] = xlnⁿx − nxlnⁿ⁻¹x + n(n−1)xlnⁿ⁻²x − n(n−1)(n−2)F_n−3(x) = xlnⁿx − nxlnⁿ⁻¹x + n(n−1)xlnⁿ⁻²x − n(n−1)(n−2)xlnⁿ⁻³x + ... + + (−1)^kn^kxln^n−kx + (−1)^k+1n^k+1F_n−(k+1)(x) = x∑_m=0...k (−1)^mn^mln^n−mx + (−1)^k+1n^k+1F_n−(k+1)(x). Teraz niech k+1 = n, wtedy: F_n(x) = x∑_{m=0...(n−1)} (−1)^mn^mln^n−mx + (−1)ⁿnⁿF₀(x) = x∑_{m=0...(n−1)} (−1)^mn^mln^n−mx + (−1)ⁿnⁿx + c = x∑_m=0...n (−1)^mn^mln^n−mx + c. A zatem! ∫lnⁿxdx = x∑_m=0...n (−1)^mn^mln^n−mx + c. Czyli: ∫ln³xdx = x(ln³x − 3ln²x + 6lnx − 6) + c. Raz na zawsze rozwiązany problem.

Godzio: Wszyscy go zapamiętam