takie z indukcji Proszę o wytłumaczenie jak zrobić romanooo: 1) a³+2³+...+n³ = (1+2+...+n)2 , n∊N

	(n+1)(4n2+8n+3)
2) 12 + 32+52+...+(2n+1) =		, n∊N
	3

romanooo: 1) 1³ + 2³+...+ n³ = (1+2+...+n)² tak ma być

Trivial: Może być nie z indukcji?

Basia: ad.1 1^o n=1 L = 1³ = 1 P = 1² = 1 L=P 2^o Z: 1³+2³+....+n³ = (1+2+...+n)² T: 1³+2³+....+n³+(n+1)³ = (1+2+...+n+(n+1))² dowód:

	n(n+1)
1+2+....+n =
	2

(to bardzo łatwo udowodnić) zatem

	(n+1)(n+2)
1+2+...+n+(n+1) =
	2

stąd wynika, że możesz zmienić postać Z: i T: tak:

	n2(n+1)2
Z: 13+23+....+n3 =
	4

	(n+1)2(n+2)2
T: 13+23+....+n3+(n+1)3 =
	4

no a z tym już chyba powinieneś sobie poradzić próbuj, a jeżeli nie dasz rady napisz

Vax: 1)

	n+1 2
Tezę można równoważnie zapisać jako		2 = 13+23+...+n3

Rozpatrzmy kwadrat n x n. Znajdźmy ilość prostokątów, jakie da się utworzyć z punktów kratowych tego kwadratu. Skoro bok kwadratu ma długość n, to ilość punktów kratowych na tym boku wynosi

	n+1 2
n+1, więc ilość 2 prostych poziomych można wyznaczyć na		sposobów, tak samo ilość 2

	n+1 2
prostych pionowych można wyznaczyć na		sposobów, 2 proste pionowe i poziome

	n+1 2
jednoznacznie wyznaczają prostokąt, więc wszystkich takich prostokątów będzie		2,

jest to nasza lewa strona. Przejdźmy teraz do 3 wymiaru i utwórzmy z naszego kwadratu nxn, sześcian o wymiarach n x n x n, mamy więc znaleźć ilość sześcianów o wierzchołkach w punktach kratowych, znajdujących się w tym sześcianie. Na początku weźmy najmniejszą możliwą krawędź − 1. Wtedy ilość takich sześcianów jest równa objętości danego sześcianu czyli n³, teraz bierzemy krawędź o jedną jednostkę większą − 2, takich sześcianów będzie tyle, ile wynosi objętość sześcianu o 1 jednostkę mniejszą niż naszego, czyli (n−1)³, analogicznie ilość coraz większych sześcianów będzie wynosiła odpowiednio (n−2)³, (n−3)³ , ... , 2³ , 1³, tak więc

	n+1 2
		2 = n3 + (n−1)3 + ... + 23 + 13, cnd.

romanooo: trivial, a mozesz pokazac opcje bez indukcji ? ja mam wyklady po angielsku i czasem srednio ogarniam, ale będzie lepiej