Monotonicznoć funkcji Batura: Witam. Jak zbadać monotoniczność funkcji y=x²/x−2 (x−2 to mianownik)? Mój problem wiąże się z tym, że nie przerabiałem jeszcze pochodnych, jak i cała grupa, a nauczyciel jaki jest, taki jest ... Zależy mi na czasie, bo kartkówka jest jutro, a odezwałem się dopiero dzisiaj, bo byłem pewien, że do rozwiązania wystarczy wiedza ze szkoły średniej (np. definicja funkcji wymiernej). Prosiłbym o wytłumaczenie toku rozumowania. Z góry dziękuję za odpowiedź.

czesiek_hydraulik: Mało czasu masz, to Ci powinno pomóc. http://www.medianauka.pl/pochodna_a_monotonicznosc a potem https://matematykaszkolna.pl/strona/381.html

Basia: chyba nie o to chodzi skoro Batura nie zna pochodnych tutaj wystarczy zauważyć, że: 1. dla x₁= −2 i x₂=0 mamy x₁ < x₂

	4
f(x1) = f(−2) =		= −1
	−4

	0
f(x2)=f(0) =		= 0
	−2

f(x₁) < f(x₂) 2. x₂ = 0 i x₃=1 mamy x₂ < x₃ f(x₂) = f(0) = 0

	1
f(x3) = f(1) =		= −1
	−1

f(x₂) > f(x₃) z tego wynika, że funkcja nie jest monotoniczna (bo raz rośnie, a kiedy indziej maleje) i sądzę, że o to nauczycielowi chodziło, chociaż oczywiście przy pomocy rachunku pochodnych można dokładnie określić przedziały, w których funkcja rośnie i te, w których maleje

Batura: Dziękuję Wam. Basia, zrobiłem to w trochę inny sposób, tzn. skorzystałem z tego, że funkcja wymierna f(x) = W(x)/G(x) przyjmuje wartości dodatnie wówczas gdy f(x) = W(x)/G(x) > 0 , co jest równoważne nierówności W(x)·G(x) > 0, a więc zapisałem x²(x+2) > 0, x zero=0 (pierwiastek 2−krotny) i x zero=−2 (1−krotny), zrzuciłem to na oś, wyszedł mi zarys funkcji i stąd widać, że nie jest monotoniczna, ale pewnie nie bardzo takie rozwiązanie. Mimo wszystko wziąłem się za pochodne, potrafię niektóre liczyć, ale ta jest dość nietypowa, bo we wszystkich przykładach jakie zrobiłem, to w liczniku była zmienna i liczba, a w mianowniku sama zmienna, tu jest na odwót. Czy mogę tę dwójkę z mianownika po prostu wywalić przy liczeniu pochodnej, bo pochodna stałej (w tym przypadku −2) to 0, czy to tak nie działa i musi być ona poza ułamkiem, żeby można ją było pominąć? Założyłem, że nie mogę i skorzystałem ze wzoru na pochodną ilorazu. Wyszedł mi wynik: 1 − 4/(x−2)² (jedynka jest poza ułamkiem) Prosiłbym o konfrontację Waszego wyniku z moim.

Batura:

	4
1 −		− tak będzie lepiej
	(x−2)2

Czy można to przekształcić do jakiejś prostszej postaci? Pewnie w ogóle tej jedynki w pochodnej nie powinno być.

Karolina__: Basiu mam pytanie czy np. w podpunkcie 1 dowolnie wybrałaś x −2 i 0? czy z czegoś to wynika? (rozumiem, ze nalezy uwzglednic dziedzine oraz, ze pierwszy x musi byc mneijszy od drugiego)

think: Batura, polecam policzenie pochodnej z definicji

	f(x +h) − f(x)
pochodna to granica przy h→0 z
	h

Batura: Dzięki, to już jutro pomyślę nad tym sposobem, bo póki co nic mi ta definicja nie mówi. Wynik wyszedł dobry, tylko niepotrzebnie wyłączyłem jedynkę ( ^x(x−4)_(x−2)² ).

think: pochodna wyszła Ci poprawna ale z definicji po prostu warto zrobić, tylko jako formę ćwiczenia teraz znak pochodnej określa gdzie dana funkcja jest rosnąca, jeśli pochodna f'(x) jest ujemna to funkcja f(x) jest w tym przedziale malejąca, jeśli pochodna jest dodatnia to funkcja jest rosnąca.

Basia: do Karoliny to są dowolnie wybrane liczby należące do dziedziny funkcji, ich wybór zależy wyłącznie od wybierającego oczywiście trzeba je wybrać "sprytnie" czyli tak, żeby było: x₁ < x₂ < x₃ i f(x₁) < f(x₂) ale f(x₂) > f(x₃) (albo na odwrót) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ten "sposób" wybierania, ściśle rzecz biorąc, wynika z przedziałów monotoniczności funkcji, ale żeby je określić trzeba użyć pochodnych i kółko się zamyka czyli bez pochodnych "na wyczucie", można się wspomóc szkicem (niekoniecznie bardzo dokładnym) wykresu funkcji