rozwiąż nierówności
Monika: √4x−x2> x−2
(x−4)√x+1<4−2x
8 paź 22:02
Grześ: Rozwiązuję
8 paź 22:09
Grześ:
√4x−x2>x−2 D: 4x−x
2≥0 ⇔ −x(x−4)≥0 ⇔ x(x−4)≤0 ⇔ x∊<0,4>
Teraz mamy dwa przypadki:
dla x−2<0 ⇔ x∊<0,2)
prawa strona ujemna, a prawa dodatnia, więc nierówność prawdziwa
dla x−2≥0 obie strony nieujemne, czy podnosimy do kwadratu:
4x−x
2>x
2−4x+4
−2x
2+8x−4>0
x
2−4x+2>0
Δ=16−8=8
√Δ=2
√2
czyli:
x∊(−
∞,2−
√2) U (2+
√2,+
∞), lecz częśc wspólna z założeniem x∊<2,4>, czyli:
x∊(2+
√2,4>
Sumujemy rozwiązania z przypadków:
x∊<0,2)U(2+
√2,4>
Zrozumiałe?
8 paź 22:15
Monika: nie bardzo rozumiem tego dla x−2<) skąd to?
8 paź 22:17
Monika: ok juz rozumiem skąd to a jaka odp do 2 przyladu?
8 paź 22:19
Grześ: hmm.. co do drugiego przykładu to się zastanawiam, już robię
8 paź 22:20
Monika: a zawsze rozpatrujemy 2 przypadki mniejsze i wieksze od zera?
8 paź 22:21
Grześ: z pierwiastkami bywa różnie, drugi przykład chyba trzeba inaczej
8 paź 22:22
Monika: a możesz (tak jak uważasz) kiedy musze rozpatrzyc 2 przypaki a kiedy jeden?
8 paź 22:23
Grześ: nie ma schematycznych nierówności tego typu, wszystko opiera się na logicznym mysleniu, czyli
trzeba ją po prostu nabyć..
Już pisze rozwiązanie drugiego zadania, bo wpadłem
8 paź 22:25
Grześ:
(x−4)
√x+1<4−2x D: x≥−1
wprowadzamy zmienną pomocniczą:
t=
√x+1, t≥0
t
2=x+1
x=t
2−1, podstawiamy:
(t
2−5)t<4−2t
2+2
t
3−5t<−2t
2+6
t
3+2t
2−5t+6<0
Rozwiązujemy nierówność wielomianową, x=−1 jest pierwiastkiem, więc grupujemy:
t
3+t
2+t
2+t−6t−6<0
t
2(t+1)+t(t+1)−6(t+1)<0
(t+1)(t
2+t−6)<0
Dalej rozbijamy:
(t+1)(t+3)(t−2)<0 rozwiązujemy nierówność,
ecz (t+1)(t+3) jest wyrażeniem zawsze dodatnim ( patrz założenie t≥0), czyli pomijamy te
nawiasy:
t−2<0
t<2
wracamy do podstawienia:
√x+1<2 /
2
x+1<4
x<3, wrac z dziedziną x≥−1, czyli:
x∊<−1,3)
Zrozumiałe ?
Widzisz, całkiem inne podejście do nierówności, wg mnie szybciej policzyłem
8 paź 22:30
Monika: wiesz co tak mysle czy przy pierwszym zalozeniu nie mozna od razu napsiac ze x−2 wieksze równe
0 i wtedy ze x zawiera sie <2,4>
8 paź 22:31
Grześ: można, zobacz na określoną dziedzinę
Rozpatruję tylko "x"−y z dziedziny, inne mnie nie
interesują. Rozumiesz?
8 paź 22:32
Monika: aaaa ok
8 paź 22:33
Grześ: ale dla <0,2) mamy inny przypadek... jego też trzeba uwzględnić
8 paź 22:33
Grześ: teraz czytaj rozwiązanie drugiej nierówności
Zaraz muszę spadać i jak coś, to wyjasnie, jak cos nie rozumiesz
8 paź 22:34
Monika: 2 rozumeim dzieki
8 paź 22:36
Grześ: to ja idę spać... juz zmęczony zadankami
Dobranoc Moniko
8 paź 22:37
Monika: Dobranoc Grzesiu
8 paź 22:37
Monika: wiesz co zauwazylam blad w 2 rozwiazaniu tam powinno byc −6
8 paź 22:46