znajdź punkt ulaat: Punkty A=(-2,-6) i B=(2,6) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym AC=BC. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie równa się 2√10. Wyznacz współrzędne wierzchołka C.

Bogdan: Dzień dobry. Rozwiązuję

Bogdan: Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym o promieniu długości R = 2√10 leży na prostej zawierającej wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka C na bok AB. Ta jest symetralną boku AB. Wyznaczamy więc punkt D, będącym środkiem odcinka AB. D = ((-2 + 2)/2 ; (-6 + 6)/2) = (0, 0). |AD| = |DB| = √(-2 - 0)² + (-6 - 0)² = √40 = 2√10. Stwierdzamy, że |AD| = |DB| = R, czyli średnica okręgu opisanego na trójkącie ABC jest bokiem AB tego trójkąta. Jeśli trójkąt jest wpisany w okrąg i jeden z jego boków jest średnicą tego okręgu, to ten trójkąt jest prostokątny, a bok trójkąta będący jednocześnie średnicą okręgu opisanego na nim jest przeciwprostokątną trójkąta. Wobec tego trójkąt ABC jest prostokątny oraz |CD| = R = 2√10. Czy te informacje są wystarczające do samodzielnego zakończenia rozwiązania zadania? Spróbuj.

ulaat: Właśnie mój problem polega na tym, że nie wiem jak dalej zrobić, jak wyznaczyć współrzędne wierzchołka C. Wiem, że jest to trójkąt prostokątny i równoramienny ale chyba nie wystarczy, że zaznaczę na rysunku. Jak mogę wyliczyć jego współrzędne?

Bogdan: 1. Napisz równanie prostej prostopadłej do prostej zawierającej punkty A, D, B i przechodzącej przez punkt D(0, 0). Na tej prostej leży rownież punkt C. 2. Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC, środek tego okręgu leży w punkcie D = (0, 0). 3. Rozwiąż układ równań, w którym jednym równaniem jest równanie proste wyznaczonej w punkcie 1., drugie równanie jest równaniem okręgu wyznaczone w punkcie 2. Rozwiązaniem tego układu równań będą dwa punkty: C₁ i C₂. Te punkty są rozwiązaniem zadania. To są proste obliczenia, chociaż trochę żmudne. Powodzenia.

Eta: Witam! Można też tak: ponieważ środkiem tego okręgu jest S(0,0) r= 2√10 to okrąg ma równanie: x² +y² = 40 bo r² = 40 Prosta zawierająca bok AB ma równanie y = ax ( bo przechodzi przez (0,0) i przez punkty A i B podstawiając za x_A = -2 y_A = -6 obliczysz a = 3 zatem równanie tej prostej ma postać: pr. AB : y= 3x prosta CS zawiera wysokość tego trójkata czyli jest prostopadła do pr. AB więc pr. CS ; y = (-1/3)x bo przechodzi przez S(0,0) rozwiąz układ równań: x² + y² = 40 y= (-1/3)x otrzymasz dwa takie punkty C₁ i C₂ powinny Ci wyjść C₁ ( 6, - 2) C₂ ( - 6, 2)

Eta: Witam Bogdanie! Przepraszam ,że się "wcięłam" Pozdrawiam!

Bogdan: Witam Eto. Właśnie ten układ równań sugerowałem ulaatowi. Pozdrawiam

ulaat: Dziękuję bardzo czyli jest tak jak myślałam, trochę liczenia