problem z zespolonymi liczbami pat:

	1 + i
Zapisz liczbę (		)25 w postaci a +ib.
	√3 + 1

Żeby to rozwiązać, należy najpierw doprowadzić liczbę do postaci trygonometrycznej, skorzystać z prawa de Moivre'a i z powrotem przekształcić do postaci kanonicznej.

	1 + i
No więc najpierw pierwszy krok:
	√3 + i

	√3 + 1		1 − √3
przekształcam do postaci		− i
	4		4

	√2
Moduł z tej liczby zespolonej wynosi
	2

	√6 + √2
więc cos δ =
	4

i teraz pytanie − jak z tego wyliczyć kąt δ? Bo raczej zbyt ładna postać tego nie jest, no a kąt muszę znać żeby skorzystać z prawa de Moivre'a − wtedy δ będę mogł pomnożyć przez 25. A może gdzieś błąd popełniłem? i przez to takie dziwne cos δ i sin δ wyszły?

pat: sorki, oczywście w pierwszym przykladzie w mianowniku jest √3 + i a nie + 1

Godzio:

	√6 + √2		π
To jest ładna postać, cosα =		⇒ α = 15o =
	4		12

pat: dzięki − jednak moje pytanie − korzystałeś z jakiś przekształceń? Czy po prostu wiesz że cos ^π₁₂ to akurat tyle wynosi?

Godzio: To akurat wiedziałem, dobrze kojarzyć takie kąty typu 15^o, 75^o, 105^o

pat: a potem udowodnić jakoś to ze wzoru na podwojony kąt. Tak czy siak dzięki, muszę sobie wydrukować jakąś tabelkę z tymi kątami żeby ją zapamiętać. Potem właśnie można udowodnić ze w.w że to prawdziwe jest.

Godzio: Tak też można

ICSP: ależ po co się tak bawić ? 1 + i = √2(cos45^o + isin45^o} = √2e^{i* π/4} √3 + i = 2(cos30^o + isin30^o} = 2e^{i * π/6}

	√2ei* π/4		√2
(		)12 = (		)12 * ei (π/4 − π/6)12
	2ei * π/6		2

e^{i (π/4 − π/6)1}2 = (e^{i π/12})¹² = e^iπ .

	√2		1		1		1
(		)12eiπ =		(cos180o + isin180o} =		(−1 + 0} = −
	2		64		64		64

chyba łatwiej. Pozdrawiam ICSP

Godzio: ICSP umie zespolone to teraz kozaczy

Trivial: Można inaczej, czyli algebraicznie.

	1+i		(1+i)25
(		)25 =		= z
	√3+1		(√3+1)25

(1+i)²⁵ = (1+i)²⁴(1+i) = (1+2i−1)¹²(1+i) = (2i)¹²(1+i) = 2¹²(1+i).

	212(1+i)
z =
	(√3+1)25

Zapisane.

ICSP: a ja oczywiście 25 odczytałem jako 12

Trivial: W mianowniku jest 1 czy i?

pat: ICSP dużo łatwiej, ale mieliśmy dopiero 1 wykład z liczb zespolonych, nie poruszaliśmy zagadnienia z i w wykładniku więc nie znam żadnych tam praw obowiązujących muszę to robić łopatologicznie jak mi na ćwiczeniach pokazali

pat: Trivial: tam jest własnie i, poprawiłem w drugim poście.

Trivial: W takim razie jeszcze prostsze.

	1+i
(		)25 = z.
	√3+i

(1+i)²⁵ = ... = 2¹²(1+i). (√3+i)²⁵ = (√3+i)²⁴(√3+i) = (3√3+9i−3√3−i)⁸(√3+i) = (8i)⁸(√3+i) = 8⁸(√3+i).

	212(1+i)
z =		= ...
	88(√3+i)

ICSP: pat nie masz najgorzej. U mnie zamiast wprowadzać liczby C to bawią się jeszcze w jakieś grupy, iloczyn kartezjański, działania właściwe

Trivial: A znasz już aksjomaty grupy?

ICSP: a co to?

pat: u mnie aksjomaty grupy, ciała i l. rzeczywistych były na samiutkim początku małe tylko pytanko dla jasności − w jaki sposób (1 + i)²⁴ stało się (1 + 2i − 1) ¹²?

Trivial: (1+i)²⁴ = [(1+i)²]¹² = ... Podobnie: (√3+i)²⁴ = [(√3+i)³]⁸ = ...

ICSP: (1+i)²⁴ = ((1+i)²)¹² = (1 + 2i − 1)¹² wzór skrócnego mnożenia: (a+b)²

pat: No tak, dzięki wielkie. Jednak po maturze jak się trochę w wakacje balowało to się zastało wszystko w mózgowinicy