Granica Venom: Mógłby mi ktoś pomóc rozwiązać taką granicę:

	(3n+1)n
limn→∞ (		)
	(3n+2)n

Grześ: granica z "e", czyli:

	3n+1		1
(		)n=(1−		)n, podstawienie:
	3n+2		3n+2

−(3n+2)=k

	−k+2
n=		, czyli:
	3

	1
(1+		)(−k+2)/3
	k

Dalej sam/a zrób, oczywiście wszędzie są limesy n→∞, poza ostatnim k→∞

Trivial:

(3n+1)n		3n+1		3n+2−1		−1
	= (		)n = (		)n = (1+		)n
(3n+2)n		3n+2		3n+2		3n+2

	(3n+1)n
limn→∞		= limn→∞ e−n/(3n+2) = e−1/3.
	(3n+2)n

Venom: Dzięki za pomoc

b.: przedostatnia równość Triviala jest podejrzana − nie ma takiego wzoru... Dla tych konkretnych liczb to będzie prawda, a na ogół nie, dlatego lepiej unikać takiego zapisu. U niektórych prowadzących można za takie rozwiązanie dostać zero na kolokwium z kolei rozwiązanie Godzia jest prawie ok, ale k −> −∞, więc potrzeba wiedzieć nieco więcej niż tylko to, że granicą ciągu (1+¹_n)ⁿ jest e...

Grześ: jaki Godzio? Oj, pomyliłem się, rzeczywiście k→−∞, teraz trzeba rozbić na iloczyn dwóch potęg i po sprawie

Trivial: Już pokazywałem z 5 razy ten wzór b.

Jack: wzory zawsze można sobie wyprowadzić... ale sam też kiedyś wyraziłem sprzeciw wobec takich przejść (dopóki nie zobaczyłem wyprowadzenia)

b.: problem z takim zapisem jest następujący: mamy

	3n+1
(		) −3n−2 −> e
	3n+2

więc zgodnie z Twoim wzorem

	3n+1
lim [ (		) −3n−2 ]n/(−3n−2) = lim en/(−3n−2) = e−1/3
	3n+2

a policzmy sobie tak:

	3n+1
		−> 1
	3n+2

więc analogicznie

	3n+1
lim (		) n = lim 1n = 1
	3n+2

przechodzisz do granicy tylko w podstawie, a tak nie można zrobić (albo może lepiej, nie jest jasne, że tak można zrobić). Takich wzorów jak Twój (jakie tam są założenia?) raczej nikt nie podaje, ze względu na ryzyko błędu jw., więc zwykle nie można z nich korzystać, zresztą można sobie równie dobrze poradzić bez nich...

Trivial: Poza tym to nie jest krok milowy czy coś, tylko skraca obliczenia o jeden znak równości. Można to przyjąć za przejście całej zabawy z wykładnikiem potęgi w jednym kroku.

Trivial: Nie wiem czemu znów ktoś podaje że to jest 1ⁿ. Ja nic takiego nie pisałem.

Trivial: Na górze przekształciłem ułamek krok po kroku.

b.: sformułuj w takim razie wzór, którego używasz, bo ja widzę taki wzór: jeśli lim a_n = a, to lim a_n^b_n = lim a^b_n, a on jest NIEPRAWDZIWY jeśli a=0 lub a=1... u Ciebie jest e, ale skąd Venom ma wiedzieć, że tak jak napisałeś można zrobić, a tak jak ja za 2. razem nie można?

Trivial: Tylko że ja używam innego wzoru. a = a(x) −_x→x0→ 0 b = b(x). lim_x→x0(1+a)^b = lim_x→x0 e^ab.

Trivial: Zresztą jaki to wzór. Po prostu pamiętam, że tak się w takich sytuacjach postępuje.

ZKS: Trivial będę miał do Ciebie prośbę tylko że jutro bo dzisiaj to za bardzo śpiący jestem. Odnośnie liczb zespolonych.

Trivial: OK.

b.: ok, skoro z takiego wzoru ok −− w takim razie jednak dobrze byłoby ten wzór napisać, bo jak się czyta takie rozwiązanie i się nie wie, z jakiego wzoru skorzystano, to sądzę, że raczej ,,odgadnie'' się wzór taki jak z 23:36, a nie taki jak z 23:40... (a przynajmniej nie sądzę, żeby ktoś odgadł założenie o zbieżności a_n do zera...) jeśli już 5x (albo chociaż raz) ten wzór Venomowi pokazywałeś, to sorry za wtrącanie się chodzi mi tylko o to, że choć wynik masz dobry i rozumowanie (wzór) jak się okazuje też, to z Twojego początkowego rozwiązania ciężko to poprawne rozumowanie odtworzyć...

Trivial: Dobrze, na przyszłość poprawię się i nie omieszkam wspomnieć zawsze o tym wzorze, dzięki czemu wyjdzie więcej pisania niż bez niego.

b.: he he szczerze mówiąc, to na takim etapie chyba najprostsze rozwiązania (tj. niekorzystające z dodatkowych wzorów) są najlepsze, np.

	3n+1		1
(		)n =		=
	3n+2		3n+2   ( )n   3n+1

	1		1
= [		* (1 +		) ]1/3
	1   (1 + )3n+1   3n+1		3n+1

	1
i teraz iloczyn w [ ] dąży do		* 1, więc całość do e−1/3
	e

albo rozwiązanie Grzesia −− przepraszam za pomylenie nicku jak na mój gust, Twój wzór jest raczej dla doświadczonych użytkowników i −− hmm −− jak ktoś daje takie zadanie jak to tutaj, to taki wzór należy mu podać, bo raczej go nie zna

Trivial: Osobiście nie jestem zwolennikiem zbyt dużej ilości podstawień, ani też monstrualnych ułamków (choć czasem trzeba).