Wyznacz postać trygonometryczną Gabi: Wyznacz postać trygonometryczną: 1) z1=i 2) z2=−1+i√3 3) z3=−1 4) (z1z3)20 Ten ostatni punkt mało widoczny. (z1/z3)20

Sławek: Jeżeli mamy liczbę zespoloną postaci: z=a+jb to można ją przedstawić w postaci trygonometrycznej: z=|z|(cosφ + jsinφ) gdzie moduł: |z|=√a²+b² argument φ określają równania:

	b
sinφ=
	|z|

	a
cosφ=
	|z|

W przykładzie nr1 jest: z=j |z|=√0²+1²=1

	1
sinφ=		= 1
	1

	0
cosφ=		= 0
	1

	π
czyli φ=
	2

	π		π
z=(cos		+ jsin		)
	2		2

Sławek: z= −1+j√3 |z|=√(−1)²+(√3)² = √1+3 = √4=2

	√3		−1		2
sinφ=		i cosφ=		⇒ φ=		π
	2		2		3

	2		2
z=2(cos		π + jsin		π)
	3		3

Sławek: z= −1 |z|=√(−1)²+0²=1

	0
sinφ=		= 0
	1

	−1
cosφ=		= −1
	1

stąd φ= π z=(cosπ + jsinπ)

Sławek:

	z1
(		)20
	z3

Najpierw podzielimy obie liczby, a potem podniesiemy do potęgi. Aby podzielić dwie liczby zespolone zapisane w postaci trygonometrycznej wystarczy podzielić ich moduły i odjąć od argumentu licznika argument mianownika.

z1		j		cos(π/2)+ jsin(π/2)
	=		=		=
z3		−1		cos(π)+ jsin(π)

	1
=		* [cos(π/2 − π )+ jsin(π/2 − π)] = cos(−π/2)+ jsin(−π/2)
	1

Następnie podniesiemy do potęgi 20 − skorzystamy z wzoru Moivre'a zⁿ=|z|ⁿ * [cos(nφ)+ jsin(nφ)] [cos(−π/2)+ jsin(−π/2)]²⁰ = 1²⁰ * [cos(−20π/2)+ jsin(−20π/2)]= = cos(−10π) + jsin(−10π) = 1 + j0 = 1

Gabi: Dziekuje