Teoria liczb. Remik: 1. Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie 1+x+x²+x³=2^y 2.Rozwiąż w liczbach całkowitych układ: ab+cd=−1 ac+bd=−1 ad+bc=−1

	7x+1
3.Wyznacz wszystkie całkowite wartości x, dla których wyrażenie		jest liczbą
	3x+4

całkowitą. 4. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba n⁴+2n³+2n²+2n+1 nie jest kwadratem liczby naturalnej. 5. Udowodnij, że liczba 2004*2005*2006*2007+1 jest kwadratem liczby naturalnej.

Vax: No to idziemy:

Vax:

	7x+1		2(3x+4)+x−7		x−7
3)		=		= 2+
	3x+4		3x+4		3x+4

Musi to być liczba całkowita więc w szczególności ma zachodzić |x−7| ≥ |3x+4| ⇔ (x całkowite) ⇔ x ∊ [−5 ; 0] Podstawiając możliwe wartości widzimy, że tezę spełnia x=−3 v x=−1

Vax: 4) Zauważ, że zachodzi: (n²+n+1)² > n⁴+2n³+2n²+2n+1 > (n²+n)² Skąd nasze wyrażenie leży między dwoma kolejnymi kwadratami liczb naturalnych, więc samo nie może być kwadratem liczby naturalnej.

Vax: 5) Uogólnimy trochę, pokażemy, że dla dowolnego n, liczba n(n+1)(n+2)(n+3)+1 jest kwadratem, istotnie wymnażając widzimy, że jest to równe (n²+3n+1)²

Vax: Przekształcając nasze wyrażenie mamy: 1+x+x²+x³ = 2^y ⇔ (x+1)(x²+1) = 2^y, ale (x+1 , x²+1) = (x+1 , x²+1−x(x+1)) = (x+1 , 1−x) = k, więc obie liczby x+1, 1−x dzielą się przez k, więc ich suma x+1+1−x = 2 również, skąd k=1 v k=2, jeżeli k=1 to dokładnie jedna z liczb x+1 v x²+1 ma być równa 1, ale w obu przypadkach dostajemy x=0, co daje nam parę (x,y) = (0,0). Jeżeli k=2 to x+1 = 2 v x²+1 = 2, 1 przypadek daje nam x=1 co daje parę (1,2) a drugi daje x=1 v x=−1, skąd dostajemy jeszcze jedną nową parę (−1,0) czyli nasze równanie spełniają następujące całkowite rozwiązania: (x,y) = (−1,0) v (0,0) v (1,2)

Vax: 2) {ab + cd = −1 {ac + bd = −1 {ad + bc = −1 Odejmujemy 2 od 1 dostając: ab+cd = ac+bd ⇔ (a−d)(b−c) = 0 1*) a=d, wtedy układ przyjmuje postać: {ab + ac = −1 {ac + ab = −1 {a² + bc = −1 Odejmując 1 od 3 dostajemy: a²+bc = ab+ac ⇔ (a−b)(a−c) = 0 1*a) a=b czyli a=b=d układ wtedy przyjmuje postać: {a²+ac = −1 {a²+ac = −1 {a²+ac = −1 Widzimy, że jeżeli 0=a=b=d to układ nie będzie spełniony, więc a≠0, dowolne równanie jest

	1
równoważne c = −a −		więc aby c było całkowite musi być a = ±1, to nam daje następujące
	a

pary: (a,b,c,d) = (1,1,−2,1) v (−1,−1,2,−1) 1*b) a=c czyli a=c=d, układ przyjmuje postać: {a²+ab = −1 {a²+ab = −1 {a²+ab = −1 Podobnie wyznaczamy (a,b,c,d) = (1,−2,1,1) v (−1,2,−1,−1) 2 przypadek rozpatrujemy zupełnie analogicznie dostając pary (a,b,c,d) = (2,−1,−1,−1) v (−2,1,1,1) v (1,1,1,−2) v (−1,−1,−1,2) więc ogólnie dany układ spełniają następujące całkowite czwórki: (a,b,c,d) = (−1,−1,−1,2) v (1,1,1,−2) v (−1,−1,2,−1) v (1,1,−2,1) v (−1,2,−1,−1) v (1,−2,1,1) v (2,−1,−1,−1) v (−2,1,1,1).

Remik: Vax jesteś moim mistrzem! Dzięki! Ty jesteś studentem?

Vax: Do studiów trochę czasu mi jeszcze zostało Teraz jestem w 3 klasie gimnazjum.

Remik: o.O to masz jakiś indywidualny tok nauki? Jakie miasto jeśli możesz powiedzieć?

Vax: Nie, nie mam indywidualnego toku, chodzę normalnie na matematykę do publicznego gimnazjum A mieszkam w Białej Podlaskiej.

Remik: To skąd Ty umiesz robić zadania dla liceum? Startowałeś kiedyś w jakieś olimpiadzie?

Vax: Od jakiegoś czasu przygotowuję się do OMa, więc trochę zagadnień poprzerabiałem, również na paru obozach matematycznych byłem A w OMie w tym roku pierwszy raz próbuję swoich sił.

Remik: A w OMG? Ja bylem finalistą nie chwaląc się

Vax: W omg w tamtym roku startowałem i też finalistą zostałem, może w tym roku uda się zdobyć jakieś wyższe wyróżnienie

Vax: A no i gratuluję oczywiście Dobra, ja będę leciał pouczyć się trochę do sprawdzianu z historii..

Remik: Narq powodzenia w takim razie.

Remik: No i dzięki oczywiście

Remik: Mam pytanie jak wymnożymy n*(n−1)*(n−2)*(n−3)+1 to jest to co innego niż (n²+3n+1) z pierwszego mamy n⁴+6n³+n²+6n+1 a z drugiego n⁴+17n²+6n+1

Remik: sory tam z pierwszego mamy n⁴+6n³+11n²+6n+1

Vax: Ale ja nie pisałem n(n−1)(n−2)(n−3)+1 tylko n(n+1)(n+2)(n+3)+1, zachodzi równość n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n²+3n+1)².

Remik: Wymnóżmy n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n²+n)(n²+5n+6)+1=n⁴+5n³+6n²+n³+5n²+6n+1=n⁴+6n³+11n²+1 (n²+3n+1)²=n⁴+17n²+6n+1

Vax: W 1 zgubiłeś 6n, powinno być (n²+n)(n²+5n+6) = n⁴+6n³+11n²+6n+1 No i: (n²+3n+1)² = ((n²+3n)+1)² = (n²+3n)²+2(n²+3n)+1 = n⁴+6n³+9n²+2n²+6n+1 = n⁴+6n³+11n²+6n+1 Czyli wszystko się zgadza.

Remik: Ja przy wyliczaniu tego drugiego korzystałem z tożsamości (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

Vax: Na to samo wyjdzie, (a+b+c)² = ((a+b)+c)² = (a+b)²+2(a+b)c+c² = a²+2ab+b²+2ac+2bc+c² = a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

Remik: ok rozumiem btw. startujesz w OF−ie?

Vax: Nie, tylko w OM i omg

Remik: A może chociaż OIG xD tu też miałem finalistę

Vax: No w oig też może wystartuję

Remik: To spoksik. Ja robilem w c++ a Ty

Vax: Dawno dawno temu w Pascalu, ale od dłuższego czasu tylko C++

Kara: a−[b−(c+d)]−[(a+c)−(a−b)=