Nierówność Schwarza Godzio: Witam Dzisiaj interesuje mnie indukcyjny dowód nierówności Schwarza: _{n n n} (∑x_ky_k )² ≤ (∑ x_k²) (∑ y_k²) ^{k=1 k=1 k=1} Prosiłbym na początku jakąś wskazówkę bo się z tym męczyłem ale coś kiepsko idzie

Eta: Napisz: "Trivial , Jack proszony do mojego postu" i ..........

Godzio: Ja tu się spodziewam że Vax wbije poda pare lematów i aksjomatów i na ich podstawie mi dowiedzie tej nierówności

ZKS: http://students.mimuw.edu.pl/~sl305165/Ku_chwale_nierownosci.pdf Może Ci się przyda.

Godzio: Taaaa na pewno bym tak zrobił, ale potrzebuje indukcyjnego

Jack: wiesz co, nie mam swoich notatek z topologii ale wydaje mi się, że indukcyjnie tego nie dowodziliśmy. Trzeba by (tak mi się teraz wydaje) rozpisywać ze wzorów Cauchy'ego ten iloczyn sum,a to chyba zbędna trudność. Nie pasują Ci te wzory na ważniaku i wikipedii? (moja pamięć do tego stopnia mnie zawodzi, że nie jestem pewien czy miałem tę nierówność z tej postaci zapisaną)

Vax: Ok, indukcyjnie idzie No to standardowo, sprawdź czy działa dla n=1, napisz założenie, zapisz tezę i spróbuj zacząć przekształcać tezę tak, aby móc skorzystać z założenia

Godzio: Sobie oznaczyłem że suma kwadratów z lewej strony to "a", suma kwadratów x_k to b, a y_k to c Zał. a² ≤ bc (a + x_n+1y_n+1)² ≤ (b + x_{n + 1})(c + y_{n + 1}) ⇔ a² + 2x_n+1y_n+1a + x_n+1²y_n+1² ≥ bc + by_y+1 + cx_n+1 + (x_n+1y_n+1)² ⇔ a² + 2x_n+1y_n+1a ≥ bc + by_y+1 + cx_n+1 No i wiem, że a² ≤ bc to trzeba jakoś pokazać, że 2x_n+1y_n+1a ≥ by_y+1 + cx_n+1 Coś w tę stronę ?

Godzio: Chodziło "suma x_ky_k to 'a' "

Vax: Wszystkie przekształcenia ok, tylko nierówność nie w tą stronę cały czas zapisujesz (oprócz 1 linijki) i powinieneś mieć po prawej x_n+1² i y_n+1². Teraz spróbuj za a,b,c podstawić te niewiadome i coś pozawijać, jak nie widzisz tego dokładnie to rozpisz sobie dla n=2,3

Godzio: No literówka z kwadratami i znakiem nierówności 2x_n+1y_n+1(x₁y₁ +...+ x_ny_n) ≤ (x₁² +...+ x_n²)y_n+1 + (y₁²+...+y_n²)x_n+1 Albo mi się wydaje albo to będą wszystko wzory skróconego mnożenia ja się przeniesie 2x_n+1y_n+1(x₁y₁ +...+ x_ny_n) na prawą ?

Godzio: No ! (x₁² + ... + x_n²)y_{n + 1}² + (y₁² + ... + y_n²)x_n+1²

Vax: Tak, wszystko się zawinie do sumy iluś tam kwadratów, co będzie oczywiście nieujemne

Godzio: Dzięki za pomoc Wszystko pasi

Trivial: Niechaj..... u = (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, ..., x₈, ..., x_n) v = (y₁, y₂, y₃, y₄, y₅, y₆, ..., y₈, ..., y_n) Wtedy nierówność Schwarza możemy zapisać w postaci iloczynu skalarnego: (u∘v)² ≤ (u∘u)(v∘v) = ||u||²*||v||². Ale u∘v = ||u||*||v||*cosα, czyli: ||u||²*||v||²*cos²α ≤ ||u||²*||v||². Dla u = 0 lub v = 0 nierówność spełniona w sposób trywialny. Dla u,v≠0 dzielimy obustronnie przez ||u||²*||v||². cos²α ≤ 1 − OK.

b.: ,,Ale u∘v = ||u||*||v||*cosα'' −−> dlaczego?

Jack: definicja?

b.: taka jest definicja? nie sądzę... w takim razie co to jest α?

Trivial: α to pewien kąt. I tak nie ma to znaczenia.

b.: czyli definicja to u∘v = ||u||*||v||*cosα, gdzie α jest pewnym kątem bez znaczenia trochę mało praktyczna definicja Twój dowód ciężko byłoby sformalizować, raczej trzeba udowadniać 'algebraicznie' (np. przez indukcję), w każdym razie korzystając z tego, że u o v = ∑_k=1ⁿ u_k v_k (można zresztą udowodnić nierówność Schwarza przy ogólniejszej definicji iloczynu skalarnego)

Vax: https://matematykaszkolna.pl/strona/1630.html

TOmek: przepraszam ,ze się wtrącam ale w tym nawale tematów może nie zauważacie mojego problemu, proszę Was mistrzowie o pomoc //przepraszam za spawn

Trivial: SPAWN!!1 b, czepiasz się. Da się udowodnić tę własność iloczynu skalarnego i jest ona powszechnie znana.

b.: czepiam się, bo ta własność to tylko interpretacja geometryczna. Problem polega przede wszystkim na tym, że żeby udowodnić tę własność, trzeba albo wiedzieć z góry, co to jest α, albo − przy Twoim podejściu ,,to pewien kąt'' − trzeba z góry wiedzieć, że zachodzi nierówność Schwarza, którą chcemy tutaj udowodnić w drugiej sytuacji mamy błędne koło a w pierwszej jest problem z tym, jak zdefiniować α −− jeśli uważasz, że to jest powszechnie wiadome, to powiedz, jak liczyć α np. dla wektorów u = (u₁, u₂, ..., u₇) oraz v=(v₁, v₂,

	u o v
..., v7) w R7 −− można by to próbować zdefiniować jako arccos		, ale wtedy
	|u| |v|

znowu wracamy do punktu wyjścia −− skąd wiadomo, czy argument tego arccos ma moduł nie większy od 1?

Trivial: ... Zaraz wymyślę inny dowód...

M4ciek: Godzio jesteś ?

Trivial: u,v − wektory jak wyżej. Chcemy udowodnić: (u∘v)² ≤ (u∘u)(v∘v). 1. Dla u = 0 − łatwo pokazać, że zachodzi. 2. Dla u ≠ 0 mamy zależność, która jest spełniona dla dowolnego rzeczywistego skalaru α. 0 ≤ (αu+v)∘(αu+v) = α²(u∘u) + 2α(u∘v) + (v∘v) Skoro u ≠ 0 to tym bardziej u∘u ≠ 0, a więc mamy trójmian kwadratowy. Ten trójmian przyjmuje wartości nieujemne, gdy, gdy Δ_α ≤ 0, czyli: 4(u∘v)² − 4(u∘u)(v∘v) ≤ 0 (u∘v)² ≤ (u∘u)(v∘v) − OK. Teraz już nie ma do czego się przyczepić.

Trivial: gdy gdy.