Zadanie Pati: Uzasadnij że liczby 2^log₃⁵ i 5^log₃² są równe.

Basia: log₃5 = a ⇔ 3^a = 5 log₃2 = b ⇔ 3^b = 2 2^log₃5 = (3^b)^a = 3^ab 5^log₃2 = (3^a)^b = 3^ab

Trivial: Można to uogólnić. Teza: a^log_bc = c^log_ba przy odpowiednich założeniach a,b,c. Dowód Weźmy obustronnie logarytm przy dowolnej podstawie, powiedzmy 2 − oznaczenie: lg. a^log_bc = c^log_ba /lg lga^log_bc = lgc^log_ba

	1
logbc*lga = logba*lgc /*
	logba * lga

logbc		lgc
	=
logba		lga

Z twierdzenia o zamianie podstawy logarytmu wiemy, że:

	logbc
logac =
	logba

Wiemy też:

	lgc
logac =		.
	lga

Czyli....... log_ac = log_ac − OK.

Mati: 2^log₃5 =2^{log₂5/log₂3}=2^{log₂51/log₂3}=5^1/log₂3=5^log₃2