zadanie - indukcja? Piotrek: Pokazać, że dla każdej liczby naturalnej n liczba: a) n⁵ − n jest podzielna przez 5 b) 8ⁿ + 6 jest podzielna przez 7

Mateusz: I krok indukcyjny jest oczywisty jak go wykonac II juz troche trudniejszy: Mozesz to zrobic rozkładajac na czynniki te wyrazenia dla a) musiałbys skorzystac z trojkąta pascala zeby otrzymac wzor na (a+b)⁵ ale szybciej takie zadania mozna zrobic z tzw małego twierdzenia Fermata ktore mowi nam ze jezeli n jest liczbą pierwszą to aⁿ−a dzieli się przez n

Godzio: Albo tak: n⁵ − n = n(n⁴ − 1) = n(n² − 1)(n² + 1) = n(n² − 1)(n² − 4 + 5) = = n(n − 1)(n + 1)(n − 2)(n + 2) + 5n(n² − 1) (n − 2)(n − 1)n(n + 1)(n + 2) −− 5 kolejnych liczb całkowitych, dokładnie jedna z nich jest podzielna przez 5,

Godzio: b) 1^o n = 1 ⇒ 8¹ + 6 = 14 7 | 14 2^o 8ⁿ + 6 = 7k ⇒ 8^{n + 1} + 6 = 7m L = 8^{n + 1} + 6 = 8ⁿ * 8 + 6 = 8(8ⁿ + 6) − 42 = 8 * 7k − 42 = 7(8k − 6) 7 | 7(8k − 6) c.n.d.