Zespolone Godzio: Wykazać, że z + z⁻ (sprzężenie) = 2Rez mogę to po prostu: z + z⁻ = x + yi + x − yi = 2x = 2Rez czy muszę się bawić w definicje ?

Trivial: Ale z = x + iy to też 'definicja'.

Trivial: Jeżeli polecenie jest wykaż, to nie ma co się bawić.

Godzio: Ok, dzięki

Basia: przecież wykazałeś; dokładnie o to chodziło

Godzio: Wolałem się zapytać, mam listy pełne zadań i niektóre są tak oczywiste, że aż nabieram wątpliwości czy mogę to tak zrobić

Trivial: Algebra jest cała oczywista − jeśli poświęcasz jej choć odrobinę czasu.

Godzio: A takie coś: Wykaż, że |x| ≤ y ⇔ − y ≤ x ≤ y, y > 0 1^o x > 0 ⇒ − y ≤ x ≤ y 2^o x < 0 ⇒ − x ≤ y ⇒ (x ≥ − y i x ≤ y) ⇒ − y ≤ x ≤ y O to chodzi ?

Trivial: Po co dowodzić takie oczywistości Ja bym narysował po prostu na osi liczbowej.

Godzio: No właśnie dla mnie też jest to dziwne, ale trzeba Jeszcze jedno mam: |x| − |y| ≤ |x − y| ≤ |x| + |y| Korzystam z nierówności trójkąta: |a + b| ≤ |a| + |b| w moim wypadku a = x, b = −y |x + (−y)| ≤ |x| + |−y| ⇒ |x − y| ≤ |x| + |y| (wcześniej musiałem jeszcze wykazać nierówność trójkąta i |x| = |−x| paranoja ) No dobra ale tej drugiej strony nie mogę ruszyć

Trivial: |x| ≤ |x−y| + |y| Można mechanicznie rozbić na milion przypadków.

Godzio: A jakoś bez przypadków ?

:D: bez przypadków jak bez ręki...

Trivial: Nie mam pomysłu.

Basia: o to chodzi Godziu, tylko zapis mi się nie podoba −x dla x<0 |x| = x dla x≥0 stąd |x| ≤ y ⇔ (x<0 ∧ −x≤y) ∨ (x>0 ∧ x≤y) ⇔ (x<0 ∧ x≥ −y) ∨ (x≥0 ∧ x≤y) ⇔ [ x<0 ∨ ( x≥0 ∧ x≤y) ] ∧ [ x≥ −y ∨ (x≥0 ∧ x≤ y) ] ⇔ (x<0 ∨ x≥0) ∧ (x<0 ∨ x≤y) ∧ (x≥−y ∨ x≥0) ∧ ( x≥ −y ∨ x≤y) ⇔ T ∧ T ∧ T ∧ (−y ≤ x ≤ y) ⇔ (−y ≤ x ≤ y) c.b.d.o. Trivial cała matematyka opiera się na 14 aksjomatach teorii mnogości resztę, także to, że 2+2 = 4, trzeba umieć udowodnić

Trivial: Tak, tak. Ale czy nie wystarczy, że ktoś to już pokazał raz? Tylko trzeba udowadniać cały czas to samo? W sumie Godzio studiuję matematykę, oni tam mają czas na dowody.

Basia: udowodniłeś, że |x+y| ≤ |x| + |y| stąd |x−y|+|y| ≥ |x−y+y| = |x| stąd |x−y| ≥ |x| − |y| proste ?

Godzio: No właśnie mam podpunkty i jeden po drugim udowadniam, i co kolejny to mogę korzystać z tego co już udowodniłem. Basia a dałoby radę udowodnić to: |x| − |y| ≤ |x − y| ≤ |x| + |y| ? Chodzi mi o tą lewą stronę bo prawą już mam.

Godzio: O dzięki

Godzio: To jeszcze do sprawdzenia: | |x| − |y| | ≤ |x − y| |x| − |y| ≤ |x − y| −− to z poprzedniego podpunktu |y − x + x| ≤ |y − x| + |x| / * (−1) − |y| ≥ − |y − x| − |x| / + |x| |x| − |y| ≥ − |y − x| Korzystam z |x| = |−x| : |x| − |y| ≥ − |x − y| Korzystając z faktu, że |x| ≤ y ⇔ − y ≤ x ≤ y mam: |x − y| ≥ |x| − |y| ≥ − |x − y| ⇒ | |x| − |y| | ≤ |x − y|

Basia: nie; to są ćwiczenia, które mają nauczyć dowodzenia, rozumienia już przeprowadzonych dowodów i doprowadzić do biegłego posługiwania się rachunkiem zdań i logiką na matematyce jest to niezbędne, bo jeżeli student tych umiejętności nie nabędzie nigdy nie stanie się matematykiem, na zawsze pozostanie jedynie biegłym rachmistrzem mnie tego uczyli w szkole, dlatego wybierając matematykę wiedziałam co zamierzam studiować

Trivial: Takie dowody powinny być właśnie w szkole, a nie dopiero na studiach. U mnie nie było nawet jednego dowodu w liceum.

Basia: ad. poprzedni wpis wydaje mi się, że wszystko gra

Godzio: Dobra mam teraz serie zadań, które potrafię zrobić, tylko co do jednego, Wykaż, że liczby √2,³√2 i √3 są niewymierne, Mogę zrobić to z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu czy muszę się bawić w przypadki dla liczby parzystej i nieparzystej (tzn założyć że są to liczby wymierne i pokazać sprzeczność) ?

Basia: Trivial taki niestety jest teraz program, trudno mieć pretensję do nauczycieli realizują to co im realizować polecono a "maniaków", którzy wychowuję olimpijczyków można na palcach policzyć ( trzeba być nie tylko w miarę dobrym matematykiem, trzeba być doskonałym pedagogiem i zapaleńcem; rzadko to idzie w parze)

Basia: dowód nie wprost przypuśćmy, że √2 ∊ W ⇔ ∃_{m,n∊C i m,n nie mają wspólnego dzielnika} √2 = ^m_n ⇒

	m2
∃m,n∊C i m,n nie mają wspólnego dzielnika 2 =		⇒
	n2

∃_{m,n∊C i m,n nie mają wspólnego dzielnika} 2n² = m² jeżeli n jest parzysta ⇒ m musi być nieparzysta ⇒ po lewej stronie masz nieparzystą liczbę dwójek, a po prawej zero ⇒ sprzeczność jeżeli n jest nieparzysta ⇒ po lewej masz jedną dwójkę, a po prawej zero lub parzystą liczbę dwójek ⇒ sprzeczność czyli założenie było fałszywe ⇒ √2∉W pozostałe podobnie (w moich szkolnych czasach dowód z 1 licealnej)

Basia: teraz muszę kończyć; zajrzę za jakieś dwie godziny

Godzio: Rozwiązać umiem, tylko chodziło mi czy można z tego twierdzenia o pierwiastkach wymiernych skorzystać bo by było szybciej Ale prawdopodobnie trzeba by było je udowodnić, mam rację ?

Trivial: Godziu, nie ma takich twierdzeń gotowych! Możesz korzystać najwyżej z nierówności trójkąta.

Basia: z całą pewnością chodzi o dowód na podstawie definicji i porównanie liczby dwójek (trójek) w rozkładach

Godzio: Dobra i ostatnie pytanie na dzisiaj (mam nadzieję), chodzi o odpowiedź do udowodnienia z indukcji, weźmy najprostszy przykład:

	n(n + 1)
1 + 2 + ... + n =
	2

1^o n = 1

	1 * 2
L = 1, P =		= 1 ⇒ L = P
	2

	n(n + 1)		(n + 1)(n + 2)
2o ⋀n∊ℕ [ (1 + ... + n =		) ⇒ (1 + ... + n + (n + 1) =		) ]
	2		2

	n(n + 1)		(n + 1)(n + 2)
L = 1 + ... + n + (n + 1) =		+ (n + 1) =		= P
	2		2

	n(n + 1)
Z 1o, 2o i ZIM wynika, że ⋀n∊ℕ 1 + 2 + ... + n =
	2

Takie uzasadnienie jest ok ?

Trivial: Tak, ale ZIM?

Trivial: Btw, używacie kwantyfikatorów ∧ i ∨? Dziwne!

Godzio: ZIM − zasada indukcji mat. − skrócik, a to zależy od wykładowcy, jeden tak drugi tak ∃, ∀ − tych też używamy

Godzio: Dla mnie jest w ogóle bez sensu, że wymyślają różne kwantyfikatory dla jednego oznaczenia, po co ∧ i ∀ skoro może być np. tylko ∀

Trivial: U nas korzysta się tylko z tych lepszych.

Basia: jest dobrze; chociaż zazwyczaj piszemy tak (ale to tylko zwyczaj; implikacja też jest w porządku): 2^o

	n(n+1)
Z: 1+2+...+n =
	2

	(n+1)(n+2)
T: 1+2+...+n + (n+1) =
	2

dowód:......................... (tak jak masz) ZIM − Zasada Indukcji Matematycznej

Godzio: No właśnie u mnie implikacją zapisują, więc wole pisać tak jak oni chcą, dzięki

Basia: Godziu z kim masz wykłady i ćwiczenia ?

Godzio: Teraz będę często zadawał pytania bo chce mieć wszystko jasne i przejrzyste, żebym nie miał później żadnych wątpliwości

Godzio: Analiza: Wykład z Prof. dr hab. Krzysztofem Stempakiem Ćwiczenia z Mgr inż. Łukaszem Płociniczakiem Algebra Wykład i ćwiczenia z Dr hab. Marianem Hotlosiem

Basia: No to nie jest źle

Godzio: No , narazie jest ok i wszystko rozumiem, zobaczymy później

Godzio: Mam takie coś (sam to wymyśliłem) f(x₁ + x₂ + ... + x_n) = f(x₁) + f(x₂) + ... + f(x_n) Spełnia to funkcja f(x) = cx Da się to jakoś udowodnić ?

Vax: Jeżeli f(x) jest ciągła to tak, tutaj możesz sobie trochę o tym poczytać: http://knm.katowice.pl/wyjazdy/sesja_26/pliki/O_nieciaglych_rozwiazaniach_rownania_Cauchyego.pdf

Godzio: Dobra dzięki, zaraz się zagłębię w lekturę

Basia: ale co udowodnić ? takie twierdzenie f(x₁+x₂+...+x_n) = f(x₁)+f(x₂)+....+f(x_n) ⇒ f(x) = cx czy takie f(x) = cx ⇒ f(x₁+x₂+...+x_n) = f(x₁)+f(x₂)+....+f(x_n) drugie tak (bardzo łatwo); pierwsze nie jestem pewna, ale chyba tak jest

Godzio: Kurcze, już byłem praktycznie u celu i stwierdziłem, że to nie ma sensu, a jednak miało

Godzio: Pierwsze

b.: że f(x)=cx spełnia, to bardzo łatwo udowodnić w druga stronę, to zależy od kontekstu, za mało napisałeś (na ogół odpowiedź jest nie)

Godzio: W sumie to sam to wymyśliłem bo byłem ciekawy, miałem podobne zadanie i zastanawiałem się czy to tez jest spełnione