Drut o długości 26 cm dzielimy na dwie części. Alexa: Drut o długości 26 cm dzielimy na dwie części. Z pierwszej tworzymy brzeg prostokąta, w którym stosunek długości boków jest równy 2:1, z drugiej brzeg prostokąta w którym stosunek długości boków jest równy 5:1. Jak należy podzielić drut, aby suma pól tych prostokątów była najmniejsza? W odpowiedziach jest napisane, że 10 cm i 16 cm, jednak nie mam pojęcia jak do tego dojść i mimo prób zawsze coś się psuło. Ktoś pomoże?

shaka: Niech x i y oznaczają części na jakie został podzielony drut,gdzie y=26−x i x∊(0;26) −tylko wtedy istnieją obie części x i y. Chcemy utworzyć 2 prostokąty których suma pól jest najmniejsza. Niech z nich ma obwód(brzeg) x, a drugi 26−x. Oznaczmy boki pierwszego prostokąta przez a i b,drugiego przez c i d. Dla pierwszego mamy: 2a+2b=x,ale b=2a(stosunek boków 2:1),stąd :6a =x⇒a=^x₆ Analogicznie dla drugiego: 2c+2d=26−x ⋀ c=5d ⇒d=^26−x₁₂ Wyznaczam pola prostokątów P₁ i P₂ w zależności od zmiennej x; P₁=a*b=2a²=2(^x₆)², oraz P₂=c*d=5d²=5(^26−x₁₂)². Tworzę funkcję P(x)=P₁+P₂=2(^x₆)²+5(^26−x₁₂)² i szukam takiego x∊(0;26) dla którego P(x)=min. Po przekształceniach P(x)=^{13x2−5*52x+5*262}₁₄₄. Ułamek ^{13x2−5*52x+5*262}₁₄₄ osiąga wartość najmniejszą,gdy wyrażenie 13x²−5*52x+5*26² ma najmniejszą wartość. Jest to równanie paraboli skierowanej ramionami w górę,która najmniejszą wartość przyjmuje w miejscu wierzchołka. Wystarczy więc wyznaczyć x_w i sprawdzić,czy x_w∊(0;26): x_w=^5*52_2*13=10 ⋀ 10∊(0;26). Odp.: Drut należy podzielić na x=10 i y=26−x=26−10=16cm.