awdawd ludwik: 4x⁴ +4x³ −9x²=x−2 jak rozwiązać to równanie szybko bez dzielenia 2 razy i korzystania z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych (niewymiernych)

ludwik:

Trivial: niewymiernych?

ludwik: calkowitych(wymiernych)

Trivial: 4x⁴ + 4x³ − 9x² − x + 2 = 0 Rozwiązywanie twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych jest szybsze niż myślisz. Jeżeli poszukujesz wzorów na Δ to muszę cię rozczarować. Są one bardzo skomplikowane.

ludwik: nauczycielka nam mowila zeby dzielenie bylo ostatecznoscia, nie ma tu innej mozliwosci ?

Trivial: Jak dla mnie to tylko tw. o wymiernych pierwiastkach wielomianu. Zdradzę pewien trick, dzięki któremu ograniczysz liczbę mnożeń potrzebnych do obliczenia wartości wielomianu. Zapisz wielomian w postaci: w(x) = 4x⁴ + 4x³ − 9x² − x + 2 = = x(4x³ + 4x² − 9x − 1) + 2 = = x(x(4x² + 4x − 9) − 1) + 2 = = x(x(x(4x+4) − 9) − 1) + 2. Teraz już szybko policzysz.

Trivial: Można też od razu zauważyć, że 1 jest pierwiastkiem wielomianu. (Warto sprawdzić na samym początku możliwości: 1 i −1, bo często są rozwiązaniem). 4 4 −9 −1 2 1 4 8 −1 −2 4 8 −1 −2 0 w(x) = (x−1)(4x³+8x²−x−2) Teraz bez problemu zauważysz symetrię. w(x) = (x−1)[4x²(x+2) −(x+2)] = (x−1)(x+2)(4x²−1) Kontynuując: w(x) = (x−1)(x+2)(2x−1)(2x+1). Gotowe.

Eta: 4x⁴−4x³+8x³−8x²−x²+x−2x+2= 4x³(x−1) +8x²(x+1)−x(x+1)−2(x+1)= = (x−1)(4x³+8x²−x−2)= (x−1)[4x²(x+2)−(x+2)]= (x−1)(x+2)(4x²−1)= (x−1)(x+2)(2x−1)(2x+1)