Wykaż Adam: Wykaż że ³√√5+2−³√√5−2=1

Trivial: Przyda się wzór: (a−b)³ = a³ − b³ − 3ab(a−b) ³√√5+2−³√√5−2 = x /³ √5+2 − (√5−2) − 3√5−4x = x³ 4 − 3x = x³ x³ + 3x − 4 = 0 w(x) = x³ + 3x − 4 Dzielimy w(x) przez (x−1). 1 0 3 −4 1 1 1 4 1 1 4 0 w(x) = (x−1)(x²+x+4) Δ < 0 → x = 1.

Julia: nie rozumiem skąd wziął się zapis −3√5−4

Adam : z podstawienia do wzoru

Adam : nadal nie wiem skąd to się wzięło

Trivial: Tam powinno być ³√5−4, sorry.

Julia: a mógłbyś to rozpisać jak to wyliczyłeś, bo z podstawienia do wzoru mi to co Tobie nie wychodzi

Trivial: Zauważ, że x=a−b, a więc: x³ = a³ − b³ −3abx. a = ³√√5+2 b = ³√√5−2 Teraz już jaśniej?

Trivial: Po prostu zaoszczędziłem sobie przepisywania.

ICSP: Adam, Julia nawet ja to rozumiem, nawet ja!

Trivial: Skoro nawet ICSP zrozumiał...

Trivial: ICSP, widziałeś wczorajszy bałagan?

ICSP: to co z Jack'iem robiliście?

Julia: czyli −3³√√5+2*³√√5−2(³√√5+2−³√√5−2)=−3³√5−4 tak?

Trivial: ...=−3³√5−4x. ICSP: tak.

ICSP: nie. Jeszcze do tego x.

ICSP: widziałem troszkę. Może za jakiś rok też tak się będę bawił Umiesz edytować posty?

Trivial: Nie.

ICSP: To chyba trzeba mieć specjalne uprawienia. Eta chętnie nam powie jak to zrobić

Julia: a po co ten x skoro mam udowodnić, że strona lewa jest równa stronie prawej, więc nie można dodawać sobie literek. Ja mam to zrobić w jednym zapisie L= i mam tak rozpisywać, żeby dojść do =P a przecież nie mogę dołożyć sobie w środku x

ICSP: to nie jest tożsamość tylko zwykłe udowodnienie.

Trivial: Czemu nie? Oznaczyłem przez x wartość tego potwora, a potem udowodniłem, że x=1 czyli jest OK.

ICSP: no ale dobrze. Zrobię ci to inaczej. Bez x. Piszę.

Trivial: Metoda 'advanced guessing'?

Julia: ale mam to rozwiązać jako tożsamość

Trivial: Polecenie było wykaż, to wykazałem.

ICSP: ³√√5+2 −³√√5−2 = 1 podnosimy obustronnie ^{3 3}√√5+2 −³√√5−2 = 1 (p3{√5 + 2 − ³√√5−2)³ = 1³ √5 + 2 − 3³√(√5−2)(√5+2)(³√√5+2 −³√√5−2) −√5 + 2 = 1 4 − 3³√1*1 = 1 4 − 3 = 1 1 = 1 c.n.u.

Trivial: ICSP, to jest dowód przez założenie tezy?

ICSP: tak Tak samo jak u ciebie

Julia: dziękuję za pomoc

Trivial: Ja nic nie zakładałem. Znalazłem pierwiastek wielomianu i był 1, czyli OK.

Julia: a jak rozpisałam taki przykład ³√5√2+7−³√5√2−7 wyszło mi 1 a ma wyjść 2

Trivial: (a−b)³ = a³−b³ − 3ab(a−b) Jeżeli x = a−b, to: x³ = a³ − b³ − 3abx. Przechodząc do przykładu: ³√5√2+7 − ³√5√2−7 = x /³ 5√2+7−(5√2−7) − 3³√25*2−49x = x³ 14 − 3x = x³ w(x) = x³ + 3x − 14 Dzielimy przez (x−2) 1 0 3 −14 2 2 4 14 1 2 7 0 w(x) = (x−2)(x²+2x+7) Δ<0, zatem x=2.

Julia: a mógłbyś bez tego x bo nie ukrywam, że lepiej to wtedy rozumiem

ICSP: przecież masz bez x.

Trivial: Rozwiązanie bez x jest troszkę niekompletne, bo może się zdarzyć, że będzie inny x, który działa i wtedy ta metoda nie idzie (w szkolnych przykładach nigdy to się nie zdarzy).

Trivial: Zaraz wymyślę jakiś przykład, żeby pokazać o co chodzi.

Trivial: Udowodnij, że: ³√1 + ³√1 = 2. Banalny przykład, ale idąc metodą wyżej. ³√1 + ³√1 = x /³ 1 + 1 + 3³√1x = x³ w(x) = x³−3x−2 1 0 −3 −2 2 2 4 2 1 2 1 0 w(x) = (x−2)(x²+2x+1) = (x−2)(x+1)². Wykazaliśmy, że x = 2 lub x = −1 − dowód niekompletny. Ale problem pojawia się tylko w tego typu przykładach, gdzie od razu możemy policzyć pierwiastki i rozwiązać problem.

Trivial: Jest jeszcze inna metoda, metoda zgadywania: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (√2+1)³ = 2√2 + 6 + 3√2 + 1 = 5√2+7 Podobnie: (√2−1)³ = 2√2 − 6 + 3√2 − 1 = 5√2−7 Zatem: ³√5√2+7 − ³√5√2−7 = √2+1 − (√2−1) = 2.

Julia: a jak wyglądałoby to metodą, którą przedstawił ICSP?