Liczby naturalne Miś: Znaleźć liczby naturalne x, y dla których spełnione jest równanie: x³ − y³ = xy + 61

Vax: Zauważmy, że skoro są to liczby naturalne, to prawa strona jest dodatnia, czyli lewa też musi skąd x > y, nasze równanie jest równoważne: (x−y)((x−y)²+3xy) = xy+61 Podstawmy teraz 0 < a = x−y , 0 < b = xy (a,b naturalne)

	61−a3
a(a2+3b) = b+61 ⇔ b(3a−1) = 61−a3 ⇔ b =
	3a−1

	61−a3
Zauważmy teraz, że b jest liczbą naturalną, a dla a ≥ 4 v a ≤ 0 ułamek
	3a−1

przyjmuje wartość ujemną, stąd może być jedynie a=1 v a=2 v a=3, sprawdzamy, że b będzie liczbą naturalną jedynie dla a=1, wtedy b=30 i mamy układ równań: {x−y = 1 {xy = 30 Ale z x,y są naturalne, skąd jedyną parę spełniającą dane równanie jest (x,y) = (6,5).

Trivial: Na początku zauważamy, że x > y Korzystając ze wzoru: (a−b)³ = a³−b³ − 3ab(a−b) x³−y³ = (x−y)³ + 3xy(x−y) Używając podstawienia: u = x−y → u > 0 v = xy → v > 0 Otrzymujemy: u³ + 3vu = v + 61 u³ + 3vu − v − 61 = 0 Gdy u = 1 to: 1 + 3v − v − 61 = 0 2v = 60 v = 30 Na resztę nie mam pomysłu.

Trivial: Ah, Vax...

Vax:

Trivial: Po co piszesz, że dla a≤0 ułamek przyjmuje wartość ujemną, skoro już na początku założyłeś, że a>0?

Vax: No ale lepiej to zaznaczyć.

Trivial: W sumie to było proste. u³+3vu=v+61 v(3u−1) = 61−u³

	61−u3
v =		← przedtem miałem tu błąd i mi nie wychodziło.
	3u−1

Vax: Dobra ja lecę na pocztę, będę później

Trivial: Na razie.

Miś: Dzięki!