Trivial:
1. Ciąg (d
n) jest rosnący.
Dowód:
d
2 =
√2+√2 >
√2+1 =
√3 >
√2 = d
1 − zatem OK.
2. Ciąg (d
n) jest ograniczony od góry przez liczbę 3.
Dowód (indukcja):
1) d
1 =
√2 < 3 − OK.
2) d
n < 3 ⇒ d
n+1 < 3
d
n+1 =
√2+dn <
√2+3 =
√5 < 3. − zatem OK.
Zatem z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym, istnieje granica ciągu (d
n).
g =
√2+g /
2
g
2 = 2 + g
g
2 − g − 2 = 0
Δ = 1 + 8 = 9;
√Δ = 3
| | 1±3 | |
g = |
| = 2, bo −1 nie spełnia założeń zadania. |
| | 2 | |
A więc granica ciągu (d
n) przy n→
∞ to 2.