Algebra Michał: 1. Udowodnij, że ułamek, którego licznik jest iloczynem czterech kolejnych liczb naturalnych, a mianownik jest iloczynem czterech kolejnych liczb parzystych, jest skracalny przez 24.

	14n+3
2. Udowodnij, że dla naturalnego n ułamek		jest nieskracalny.
	21n+4

	n4−3n2+1
3. Udowodnij, że		dla naturalnego n i n>2 jest ułamkiem właściwym
	n4−n2−2n−1

	1
4. Bartkowi podano szklankę czarnej kawy. Wypił		tej kawy i dopełnił szklankę mlekiem.
	5

	1
Następnie, po wymieszaniu znów wypił		zawartości szklanki i znów dopełnił mlekiem.
	5

	3
Ponownie wymieszał i po wypiciu		zawartości szklanki obliczył, żw w pozostałej częśc
	5

jest o 28 cm³ więcej kawy niż mleka. Oblicz jaka była pojemność szklanki.

ZKS: 3) n⁴ − n² − 2n − 1 > n⁴ − 3n² + 1 n² − n − 1 > 0 Pamiętaj o założeniu że n ∊ N > 2.

Michał: Ok dzięki jeszcze tylko 1 2 i 4

Trivial: 4. Najłatwiej zrobić rekurencyjnie.

Godzio: 4. Było już na forum

Vax: 1) Czyli trzeba pokazać, że iloczyn 4 kolejnych liczb naturalnych jak i iloczyn 4 kolejnych liczb parzystych dzielą się przez 24, pierwsza podzielność wynika z tego, że w takim iloczynie znajdziemy przynajmniej jedną liczbę podzielną przez 3, przynajmniej jedną liczbę (podzielną przez 2 i niepodzielną przez 4) i jedną liczbę podzielną przez 4, czyli iloczyn będzie się dzielił przez 2*3*4 = 24. Co do iloczynu 4 kolejnych liczb parzystych, to jest to (2n−2)2n(2n+2)(2n+4). Jeżeli 2n+1 dzieli się przez 3, to dzieli się przez nie również 2n+1+3 = 2n+4, jeżeli 2n+1 nie dzieli się przez 3, to albo 2n albo 2n+2 dzielą się przez 3, czyli to wyrażenie zawsze będzie podzielne przez 3, 2n−2 jest podzielne przez 2 i któryś czynnik musi się jeszcze dzielić przez 4, skąd to wyrażenie też się dzieli przez 2*3*4 = 24. 2) Przez (a,b) oznaczamy nwd(a,b), korzystamy z algorytmu Euklidesa: (14n+3 , 21n+4) = (14n+3 , 7n+1) = (7n+2 , 7n+1) = 1 cnd. 3) n⁴−3n²+1 < n⁴−n²−2n−1 ⇔ n² > n+1, ale n² = n*n > 2n = n+n > n+1 cnd. W 4 dasz radę..

Michał: Co znaczy rekurencyjnie?

Trivial: To znaczy poniekąd 'od końca'.

Michał: A jak potem przekształcić n2 − n − 1 > 0 w zad. 3

ZKS: Umiesz rozwiązywać równania kwadratowe?

Michał: NIe za bardzo

Godzio: Jesteś na studiach ?

Vax: A czego nie rozumiesz w tym uzasadnieniu: n² = n*n > 2n = n+n > n+1 ?

Michał: Jestem w liceum. skąd sie wzięło n*n>2n to jest oczywiste chyba po co to? a i jeszcze nie rozumiem gdzie w zad 1. w liczniku ktora liczba jest odzielna przez 2 prze 3 i 4 skąd te liczby sie wzięły? Z góry przepraszam.

Vax: Nie przepraszaj za nic Zauważ, że chcemy pokazać, że dla dowolnego n > 2 zachodzi n² > n+1, w założeniu z zadania mamy n > 2, teraz mnożymy obustronnie przez n i dostajemy n² > 2n, ale teraz 2n = n+n, oraz n>2 więc tym bardziej n>1, czyli n+n > 1+n, czyli n² > n+1, cnd

Michał: OKI teraz rozumiem. A w zadaniu pierwszym to skąd wiesz że licznik dzieli sie przez 2 3 i 4 ja wymnozylem (n−2)(n−1)n(n+1) i po redukcji otrrzymałem n⁴−n²+2 i nie widze zeby ktoras z tych liczb dzielila sie przez 2 3 lub 4 i one są sumą to juz wogole nie pasi.

Vax: Niepotrzebnie to wymnażałeś, wśród 4 kolejnych liczb całkowitych zawsze znajdzie się przynajmniej jedna liczba podzielna przez 3 (widzisz to ? Np 4,5,6,7 to 6 się dzieli, albo 1,2,3,4 to 3 itd..), podobnie znajdzie się jedna liczba podzielna przez 4, i oprócz niej jakaś liczba podzielna przez 2, czyli ten iloczyn będzie się dzielił przez 2*3*4 = 24

Michał: Aha w ten sposób ok rozumiem. A możecie powiedzieć gdzie na forum znajde zadanie 4 bo serio nie wiem jak je zrobić.

Michał: Proszę pomóżcie