Dowód nie wprost Bartek: Wykaż, że przy a>0 ^a−1_a+1−^a−1_1−a>0 Chodzi o to, że się pogubiłem przy obliczeniach. Czy ktoś może pomóc? Dzięki

think:

a − 1		a − 1
	−		> 0
a + 1		1 − a

a − 1		−(1 − a)
	−		> 0
a + 1		1 − a

a − 1
	− (−1) > 0
a + 1

a − 1
	+ 1 > 0
a + 1

a + 1 − 2
	+ 1 > 0
a + 1

	2
1 −		+ 1 > 0
	a + 1

	2
2 −		> 0
	a + 1

ponieważ a>0 to a + 1 > 1 a tym samym 2 : (a + 1) < 2 2 − coś mniejsze od dwóch jest dodatnie

Eta:

a−1		a−1
	+		>0
a+1		a−1

a−1
	+1>0
a+1

a+1 >0 zatem pomnóż nierówność przez a+1 bez zmiany zwrotu nierówności teraz spróbuj dokończyć ....

Eta: otrzymasz: a−1+a+1 >0 => 2a>0 => a>0 c.n.u

think: Etunia

Bartek: wydaje mi się Eta, że jest błąd w twoim przykładzie. Poprawnie przepisał to Think. Ok. Fajno, tylko że mnie chodziło o to, żeby wykazać to wszystko dowodem nie wprost. Rozwiązanie think super, ale gdzie jest zaprzeczenie? Gdzie jest sprzeczność? Ja to chciałem w ten sposób zrobić,bo właśnie wymyślam sobie różne przykłady dotyczące tego rodzaju dowodu. Chciałem go po prostu opanować tak na super

Bartek: Eta− albo to ja jestem matołem. Przecież to jest to samo, tylko inaczej zapisane Tak czy siak, chodziło mi bardziej o dowód nie wprost.

think: aleś się uparł... Załóżmy nie wprost, że owa różnica jest ujemna...

a − 1		a − 1
	−		< 0
a + 1		1 − a

a − 1		1 − a
	+		< 0
a + 1		1 − a

a − 1
	+ 1 < 0
a + 1

ponieważ a > 0 możemy pomnożyć stronami przez (a + 1) a − 1 + a + 1 < 0 2a < 0 dochodzimy do sprzeczności (bo a > 0), co kończy dowód nie wprost

Bartek: Oprócz prośby o ten dowód nie wprost mam jeszcze pytanie: jak zrobić, żeby czcionka była większa przy pisaniu ułamków?

think: użyj dużego U zamiast małego u

Bartek: O, dzięki No uparty jestem. Wiem.

Eta: miałeś wszystko " na tacy" ( nie zauważyłam wpisu " dowód nie wprost" kwestia zmiany zwrotu ≤0

Bartek: Chciałem powiedzieć, że tworząc to zajefajne forum, chyba autor i pomysłodawca nie przewidział, że w rezultacie przykleją się do niego tak,niestety, uparrrrrci ludzie jak ja. Znaczy...mili ludzie...będę wpadał częściej A dzisiaj już życzę wszystkim dobrej nocy

Bartek: Eta,think....tak na prawdę to jutro chętnie spróbuje rozwiązać ten przykład przy innych założeniach: a<0 albo cały przykład też <0 albo np przykład ≤0 lub ≥0. Jednak, jak to mówią:"Wszystko w swoim czasie", czyli jutro Pozdrawiam

Bartek: heja ho Wczorajszy przykład postanowiłem zapisać inaczej: Przy pomocy dowodu nie wprost, jeśli a>0 wykaż,że:

	a−1
1)		+1≤0
	a+1

Robię to sam,ale nie jestem pewny jednego...dawno temu byłem w liceum Gdy zapisuję założenie o nieprawdziwość to powinienem to zrobić tak:

a−1
	+1>0 czy może powinienem zapisać to tak:
a+1

a−1
	+1≥ ?
a+1

Bo w tym drugim przypadku jestem zmuszony rozważyć dwie możliwości:

	a−1
Jeśli		+1=b ∧ b≥0, to kiedy b=0 oraz b>0
	a+1

a to trochę komplikuje sprawę − jeżeli przykład 1 zapiszę jako równość, to zaprzeczenie będzie miało zupełnie inny sens i nie będę mógł w nim zastosować znaku "≥". Taki ma feler!

Bartek: Zacząłem eksperymentować i wyobraziłem to sobie tak: Nie wiem czy dobrze rozumuje... a≤0 ⇔ a<0 ⋀ a=0. Ale ∼a≤0 ⇔∼a<0 ⋀ ∼a=0, więc ∼a≤0 ⇔a>0 ⋀ a≠0 Wniosek: ∼a≤0⇔a>0. Czy napisałem prawdę? Bo wydaje mi się to słuszne.

b.: Wniosek: ∼a≤0⇔a>0. jest prawdziwy. Literówka w pierwszym wierszu: masz ,,∧'' zamiast ,,∨'' (ale reszta pozostaje ok po tej poprawce). mocno komplikujesz −− czy to nie jest jasne, że jeśli liczba a ma nie spełniać nierówności a≤0, to musi byc a>0? (byc moze nie jest, jesli sie uczysz do wstepu do matematyki, ale tak normalnie to to jest jasne )

Bartek: Wiesz b. , ja po prostu dawno już nie ćwiczyłem matmy a z pewnych powodów twardo postanowiłem ją sobie nie tylko przypomnieć (na poziomie liceum), ale tę przypomnianą wiedzę również dalej rozwijać. No tak, faktycznie. Zastosowałem znak "⋀", który oznacza "i", a przecież zdanie , że a jest jednocześnie równe 0 i jednocześnie a<0, ma wartość false. ze mną trzeba cierpliwie i łopatologicznie...

Bartek: Doszedłem do jeszcze jednego pytania: Jeżeli na początku przy a>0 oraz

a−1
	+1=b
a+1

oraz b>0 tzn. doszedłem do sprzeczności, rozpatrując b<0. (klasycznie − nie wprost) Czyli faktycznie wykazałem, że przy a>0 ,b faktycznie jest >0. Jeśli teraz odwrócę sytuację przy a>0... tzn. spróbuje wykazać, że b<0, (też nie wprost), oznaczać to będzie sytuację następującą: do wykazania jest teraz to: b<0 więc teza o nieprawdziwości to b>0. Ale wcześniej dowiodłem, że przy a>0 zdanie b>0 jest prawdziwe. A to oznacza, że nie dochodzę tu do sprzeczności. A jeśli do niej nie dochodzę...czy mogę wyciągnąć z tego wniosek, że właśnie pierwotne ZDANIE b<0 jest fałszywe? Ogólnie rzecz biorąc chyba nie potrzebnie to wszystko piszę,bo sprawa jest prosta i logiczna. Chodzi mi jednak o sytuację odmienną od tej, z którą zazwyczaj spotkać się można w zadaniach. A rzecz polega na tym, że w zadaniu jeśli ktoś prosi na o wykazanie, że przykład p1>0, to przeważnie p1>0 w zadaniu ma być zdaniem prawdziwym. Mnie zaś chodzi o sytuację, w której mamy wykazać czy faktycznie p1 jest większe od 0 czy nie jest. Jeśli więc na początku zadania nie mogę przyjąć zdania p1>0 za prawdziwe, to co wtedy. Jeśli nazwę je zdaniem prawdziwym i stosując dowód (nie wprost) nie dojdę do sprzeczności...teoretycznie oznacza to, że zdanie p1 nie jest prawdziwe. Niby logiczne, ale czy ten dowód faktycznie zdaje w takiej sytuacji egzamin. Jezu, ale się rozpisałem)))))

Bartek: Cały dzień minął i nikt nie odpowiedział. Hmm...znaczy, że albo max. zamotałem albo moje posty są gigantycznie upierdliwe albo jedno i drugie... c.n.u.

Jack: jesli dobrze rozumiem, to gdy na początku nie jesteśmy pewni znaku, dajemy jakikolwiek i przekształcamy równoważnie nierówność aby odsłonić jej prostszą postać. Niekiedy można zauważyć już w trakcie przekształceń, że założona na początku nierówność nie zachodzi. Wtedy sprawdzamy, czy zachodzi przeciwna itp

Bartek: Zgadza się, ale pytanie: czy w matematyce istnieje coś takiego jak "dowód nie wprost", który się np nie powiódł. Normalnie, w takim dowodzie dochodzimy do sprzeczności np Przy a >0, 2a<0 Tutaj jest sprzeczność, więc dowód wykazał to, co miał wykazać. A jeżeli nie dojdziemy do sprzeczności, tylko do prawdziwości? O to właśnie mi chodzi

Jack: wszystko zależy od założenia α. Jesli założysz α i nie dojdziesz do sprzeczości (ale do β).. to nie możesz oczywiście wnosić że założenie jest prawdziwe. Możesz jedynie stwierdzić, że α pociąga za sobą β (czyli implikacja α→β jest prawdziwa).

Bartek: Ok, spoko, implikacja jest prawdziwa...luzik.. Jednak jeśli natknę się na sukinkota trzy razy bardziej upierdliwego ode mnie (autora zadania) i okaże się, że w zadaniu nie ma ani słowa o tym,by wykazać prawdziwość tej właśnie implikacji − a do prawdziwości owej implikacji dojdę, to nasuwa mi się ostatnie (miejmy nadzieję) pytanie: Jak sformułować ostateczny wynik zadania? Bo jeśli miałem wykazać przy a>0 ,że "coś" jest "jakieśtam" i zamiast do sprzeczności doszedłem do tej implikacji, to sory ok ...mogę napisać wniosek o prawdziwości tej implikacji, ale ten wniosek nie zmienia tego, że nadal nie mam konkretnej odpowiedzi na polecenie w zadaniu. Bo w zadaniu mam wykazać prawdziwość konkretnego wyrażenia a kto wie...może autorowi nie wystarczy sam wniosek o tej implikacji... Ja wiem. To są upierdliwe drobnostki, ale diabeł właśnie w takich tkwi.

Jack: na 95% będziesz miał powiedziane z czego co masz wywnioskować Nie stawia się poleceń typu "Z α wywnioskuj cokolwiek" − to zbyt proste Raczej "Z α wywnioskuj β" (coś konkretnego).

Bartek: Nie jestem pewny Jack czy się zrozumieliśmy, ale kumam, że zadaniem autora jest wymyślić zadanie, w którym jest ład i porządek. Jeśli więc obawiam się dojścia do prawdziwości owej implikacji (zamiast do sprzeczności − klasycznej sytuacji dowodu nie wprost), to pewnie masz na myśli, że w tym zadaniu zostanę właśnie o wykazanie tej implikacji poproszony. Ok. Chyba załapałem.Dzięki