Zespolone Godzio: Liczby zespolone Zad. 1 Wykazać, że: z₁ * z₂ = 0 ⇔ z₁ = 0 lub z₂ Czy wystarczy takie coś : 1^o z₁ = 0 (0,0) * (x₂,y₂) = (0 * x₂ − 0 * y₂, 0 * y₂ + x₂ * 0) = (0 − 0,0 + 0) = (0,0) = 0 2^o z₂ = 0 (x₁,y₁) * (0,0) = (x₁ * 0 − y₁ * 0), x₁ * 0 + 0 * y₁) = (0 − 0, 0 + 0) = (0,0) = 0 Z 1^o i 2^o ⇒ z₁ * z₂ = 0 ⇔ z₁ = 0 lub z₂

Jack: pokazałeś w jedną stronę (←)

b.: pokazałeś tylko łatwiejszą implikację ,,<=''

Godzio: (x₁,x₂) * (x₂,y₂) = (x₁x₂ − y₁y₂, x₁y₂ + x₂y₁) = 0 ⇔

⎧	x1x2 − y1y2 = 0
⎩	x1y2 + x2y1 = 0	coś w tą stronę ?

Jack: może zapisz w postaci wykładniczej ten iloczyn− myślę, że wtedy od razu otrzymasz wynik

b.: tak (literówka: powinno być (x₁,y₁) na początku)

b.: z tego co Godzio napisał też można od razu otrzymać wynik, choć nie jest to aż tak oczywiste

Godzio: Jack ja dopiero jeden wykład miałem na ten temat i narazie mam takie początki więc w postaci wykładniczej się nie orientuje, ale listę mamy zrobić, Kontynuując, ale nie za bardzo wiem jak to dokończyć x₁x₂ = y₁y₂ x₁y₂ = −x₂y₁ : dzielę równania przy założeniu y₂,x₂ ≠ 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x2		y2
	=		⇒ −x22 = y22 ⇔ x2 = y2 = 0 (założenie było fałszywe)
y2		−x2

⇒ z₂ = (0,0) = 0

b.: do tego dzielenia potrzebujesz też x₁, y₁ ≠ 0 −− chcesz 0 skrócić?

Godzio: No tak, zapomniałem dodać, a ta końcówka jest ok ?

b.: nie, bo to że założenie było fałszywe będzie oznaczało tylko tyle, że nie mogłeś podzielić

b.: sorry źle napisałem, będzie oznaczało, że nie wszystkie z x i y są różne od 0

Godzio: A przemnożyć ? Tutaj już chyba nic nie trzeba zakładać x₁²x₂y₂ = − y₁²x₂y₂ x₁²x₂y₂ + y₁²x₂y₂ = 0 x₂y₂(x₁² + y₁²) = 0 ⇒ x₂ = 0 lub y₂ = 0 lub x₁² + y₁² = 0 ⇔ x₁ = y₁ = 0 ⇒ z₁ = (0,0) = 0

b.: czyli pokażesz w ten sposób, że co najmniej jedna z 4 liczb jest zerem, ale to jeszcze nie koniec

b.: no nie do końca, bo jeszcze musisz rozpatrzyć pierwsze 2 przypadki (x₂=0; y₂=0)

Godzio: Wiesz co, pomyślę nad tym trochę żeby to jakoś sklecić w całość i jakiegoś wieczoru to przedstawię łącznie z paroma innymi zadaniami, bo teraz będę pleść same głupoty

b.: jesteś bardzo blisko rozwiązania... ale ok

Godzio: Tylko powiedz czy idę w dobrą stronę z tym mnożeniem stronami

b.: no coś dostałeś −− w 3. przypadku koniec, w pierwszych dwóch jeszcze nie, ale już bliżej −− jeśli np. x₂=0, to wstawiamy do początkowego układu równań i...

Godzio: Dla x₂ = 0 y₁y₂ = 0 ⇒ y₁ = 0 lub y₂ = 0 x₁y₂ = 0 ⇒ x₁ = 0 lub y₂ = 0 No to tyle wiem, ale co to da ? dalej mamy to "lub" więc równie dobrze x₁,y₁ = 0 a y₂ ≠ 0 hmmm

Godzio: A dobra x₂ = 0 i x₁ = 0 i y₁ = 0 lub x₂ = 0 i y₂ = 0 O to chodziło ?

b.: tak można też było zacząc od tego, że (x₁x₂ − y₁y₂)² + (x₁y₂ + x₂y₁)² = 0, otwieramy nawiasy, itd. Chyba nie będzie (wiele) szybciej, choć dla mnie tak było bardziej naturalnie, bo liczba zespolona = 0 oznacza, że kwadrat jej modułu równa się 0 (nawet jeśli tego jeszcze 'nie wiemy' − tj. nie udowodniliśmy − nie przeszkadza to, żeby poprowadzić w ten sposób rachunki...)

Godzio: Ok, dzięki za pomoc

Trivial: Godzio, już zaczęliście? Coś wcześnie(j)...

Godzio: No zaczęliśmy na algebrze liczby zespolone

Godzio: A, nie skumałem, zacząć już zaczęliśmy w poniedziałek były normalne zajęcia już.