całki popkim: Czy jest ktoś w stanie pomóc przy całkach podwójnych/ potrójnych?

think: wrzuć zadania a jeśli ktoś jest w stanie pomóc to pomoże...

popkim: 1). obszar prostokąta P a) ∫∫ (po obszarze P) xy³ dxdy : 0≤y≤2; b) ∫∫ ( po ob.P) x²y cos(xy²) dxdy P: 0≤x≤π/2, 0≤y≤2: 2) W obszarze trójkąta o danych bokach: a) ∫∫ cos(x+y) dP : x=0, y=π, y=x: b) ∫∫ √4x² − y² dP : y=0, x=1, y=x 3) Obliczyć pole obszaru ograniczonymi liniami a) y=cos x i y= sin x i y=0 b) √x + √y = 3 i x + y= 9 4) objętość bryły zawartej między powierzchniami a) płaszczyznami z=2−x−y, 3x+ y=2, 3x+2y=4, y=0, z=0; b) kuli x²+y²+z²=R² i walca x²+y²=Rx (Bryła Vivianiego). ?

popkim: i takie teraz moje pytanie : jest Ktoś w stanie mi pomóc?

popkim: Jeśli macie może jakieś inne (podobne) przykłady całek podwójnych i potrójnych razem z rozwiązaniami to możecie też mi podać, bo poprostu muszę mieć z tego 10 zadań Proszę o pomoc

b.: inne rozwiązane przykłady znajdziesz w skryptach do analizy...

popkim: A te co podałam to nikt nie chce rozwiązać ?

kino:

b.: napisałaś: ,,bo poprostu muszę mieć z tego 10 zadań'', więc pewnie nikomu się nie chce rozwiązywać Twoich zadań, skoro potrzebnych Ci jest dowolnych dziesięć, a te możesz znaleźć w książkach...

popkim: może niedowolnych, lecz takich tylko ewentualnei dane mogą być trochę inne, źle się w takim razie wyraziłam..

b.: w 1a) nie przepisałaś przedziału dla ,,x''

b.: całka z 1b) = ∫₀² ( ∫₀^π/2 x²y cos(xy²) dx) dy i teraz musisz policzyć całkę wewnętrzną, czyli ∫₀^π/2 x²y cos(xy²) dx

popkim: aa racja to bd: 0≤x≤1

popkim: czyli całka wew bd wyglądała tak: x³/3 * sinx ?

popkim: proszę pomóżcie

popkim:

AS: Zad 1a) Nie podałaś zakresu dla x , przyjąłem z b) 0 <= x <= 2

	x y4		24		04
∫∫[0,Pi/2][0,2]xy3dxdy = ∫[0,Pi/2]		|[0,2]dx = ∫[0,Pi/2]x(		−		)dx =
	4		4		4

∫[0,Pi/2]4xdx = 2x²|[0,Pi/2] = 2*(Pi²/4 − 0²/4) = Pi²/2 Zad 1 b) J = ∫∫x² ycos(xy²)dxdy , 0 <= x < Pi/2 , 0 <= y <= 1 Obliczam najpierw całkkę nieoznaczoną względem y Jy = ∫x²*y*cos(xy²)dy podstawienie x y² = t , 2xydy = dt , ydy = dt/(2x) Jy = x²/(2x)cos(t)dt = 1/2xsin(t) = 1/2xsin(xy²) Wstawiam granice całkowania dla y Jy = 1/2(xsin(x*1) − xsin(x*0)) = 1/2xsinx J = 1/2∫xsin(x)dx Tą całkę łatwo już wyliczyć przez części Wynik końcowy to: 1/2

proszę :): o bardzo dziekuję a dałbyś/dałabyś radę jeszcze z resztą ?

proszę :): dla pierwszego to bd taki przedział dla x 0≤x≤1 ..ale spróbuję już sobie z tym poradzić

AS: Zad 3 a) Szukam punktu przecięcia się krzywych sin(x) = cos(x) => tg(x) = 1 => x = Pi/4 Pole pod krzywą sin(x) P1 = ∫[0,Pi/4] sin(x)dx = −cos(x)|[0,Pi/4] = −cos(Pi/4) + cos (0) = −√2/2 + 1 Pole pod krzywą cos(x) P2 = ∫[Pi/4,Pi/2] cos(x)dx = sin(x)|[Pi/4,Pi/2] = sin(Pi/2) − sin (Pi/4) = 1 − √2/2 Pole całego obszaru P = P1 + P2 = 2 − √2 Zad 3 b) Szukam punktu przecięcia się krzywych y = 9 − x , wstawiam do pierwszego równania √9 − x + √x = 3 => √9 − x = 3 − √x obustronnie do kwadratu 9 − x = 9 − 2*3*√x + x => 6√x = 2x => 3√x = x do kwadratu 9x = x² => x*(x − 9 ) = 0 => x = 0 lub x = 9 , granice całkowania będzie <0,9> Szukane pole Z pierwszego równania √y = 3 − √x => y = 9 − 6√x + x P = ∫[0,9] [(9− x) − (9 − 6√x + x)]dx = ∫[0,9](6√x − 2x)dx Całkuję P = 6*x^3/2/(3/2) − x² | [0,9] = 4x√x − x² | [0,9] = 4*9*√9 − 9² = 108 − 81 = 27

AS: zad 2 a) Ponieważ y = Pi i y = x mamy granice całkowania dla x : <0,Pi> , dla y: <Pi,x> J = ∫∫[0,Pi][Pi,x]cos(x + y)dx dy = ∫[0,Pi]sin(x + y) |[Pi,x]dx J = ∫[0,Pi] (sin(x + x) − sin(x + Pi))dx = ∫[0,Pi](sin(2x) − (−sin(x)))dx J = ∫[0,Pi](sin(2x) + sin(x))dx J = [−1/2cos(2x) − cos(x)] | [0,Pi] J = −1/2*(1) − (−1) + 1/2*1 + (+1) = −1/2 + 1 + 1/2 + 1 = 2

popkim: Dziękuję bardzo za pomoc

AS: Zad 2 b) Poniższą całkę wziąlem z tablic

	1		y
∫√4x2 − y2 =		y√4x2 − y2 + 2x2arctan(
	2		√4x2 − y2

całka ta obliczona w granicach <0,x> daje wartość

1		1		1		Pi
	x2√3 + 2x2arctan		=		x2√3 + 2x2*
2		√3		2		6

Druga całka liczona względem zmiennej x w <0,1>

√3		x3		2Pi		x3
	*		+		*		|[0,1] =
2		3		6		3

√3		2Pi		1
	+		=		*(3√3 + 2PI)
6		18		18

popkim: wiem, że w zadaniu 3a powinno wyjść √2 − 1 ale i tak nie rozumiem Twojego rozwiązania ? proszę także o wyjaśnienie po kolei zadania 2a

AS: Zad 2a) Z warunków w zadaniu mamy x = 0 , y = Pi , y = x Ponieważ x = y a y ma wartość Pi , stąd zakres dla x <0,Pi>,y zmienia się od Pi do x Pi x Pi x J = ∫ ∫ cos(x + y)dydx = ∫sin(x + y)dx | bo ∫cos(zmienna) = sin(zmienna) 0 Pi 0 Pi Podstawiam granice całkowania względem y Pi Pi J = ∫ [sin(x + x) − sin(x + Pi)]dx = ∫[sin(2x) − (−sin(x)]dx bo sin (α + Pi) = −sin(α) 0 0 Pi J = 1/2(−cos(2x)) + (−cos(x)) | = −1/2 + 1 + 1/2 + 1 = 2 0

popkim: no dobra to już rozumiem dzięki, ale jeszcze jedno bo wychodzi −2

AS: Przypuszczalnie przestawiłaś zakres zmiennych.

ojejeje: Calka potrojna xdxdydz przy obszarze ograniczonym krzywymi x²+y²=4 , z=0,z=x+y+1 dałbyś rade to rozwiązać?