Zadanie z II klasy technikum - rozkład wielomianu na czynniki wer8ter: Rozłóż wielomian na czynniki: a) x⁵ + 3x⁴ + 2x³ + 3x² + x b) 3x⁴ − 5x³ + 5x² − 5x +2 e) x³ − 6x−4 f) 2x³ − 3x² +1

wer8ter: Jest ktoś w stanie mi pomóc?

krystek: x⁵+x³ +x³+x+3x²(x²+1)=x³(x²+1)+x(x²+1)+3x²(x²+1)=(x²+1)(x³+3x²+x)= =.x(x²+1)(x²+3x+1)=...

krystek: lub dzieleniem wielomianu,lub schematem Hornera!

Jack: wszystkie można zrobić odpowiednio grupując...

wer8ter: Tzn. jak dzieleniem wielomianu to można zrobić?

Jack: z twierdzenia Bezouta

wer8ter: Jeszcze nie dobrnęliśmy z moim matematykiem do twierdzenia Bezouta. Ale schemat Hornera mieliśmy, jak go wykorzystać?

krystek: b)dzielisz przez (x−1) e) dzielisz przez (x+2) f) (x−1)

Jack: w zasadzie to samo. Tzn. wiedząc, że x=a jest pierwiastkiem, czyli W(a)=0 z tw. Bezouta wnioskujesz, że wielomian W(x) jest podzielny (bez reszty) przez x−a.

krystek: Masz pierwiastki jeżeli w(a)=o to a jest pierwiastkiem .A szukasz ich w podzielnikach wyrazu wolnego, jeżeli są całkowite.

wer8ter: b)dzielisz przez (x−1) e) dzielisz przez (x+2) f) (x−1) Oby na pewno to jest dobrze?...

wer8ter: Nie no, nie czaję tego. Tzn. zrozumiałem ten przykład, który zrobiłeś krystek, ale nie wiem jak zastosować Hornera albo Bezouta. Skąd mam wiedzieć przez ile dzielić?

Bogdan: Można i tak: a) x⁵ + 3x⁴ + 2x³ + 3x² + x = x⁵ + 3x⁴ + x³ + x³ + 3x² + x = = x³(x² + 3x + 1) + x(x² + 3x + 1) = x(x² + 3x + 1)(x² + 1) = .... b) 3x⁴ − 5x³ + 5x² − 5x + 2 = 3x⁴ − 5x³ + 2x² + 3x² − 5x + 2 = .... e) x³−6x−4 = x³ − 4x − 2x − 4 = x(x² − 4) − 2(x + 2) = x(x − 2)(x + 2) − 2(x + 2) = .... f) 2x³ − 3x² + 1 = 2x³ + 2x² − x² + 1 = 2x²(x + 1) − (x − 1)(x + 1) = ....

wer8ter: Mógłbyś dokończyć przykład b) ?

Jack: x² wyciągnij z pierwszych trzech wyrażeń.

wer8ter: Ok, wyszło.

wer8ter: A jak zabrać się za te: a) 7x⁴ + 3x³ + 2x² +3x − 5 b) x⁵ −2x⁴ + x² + x³ + 3 Jak Wy wpadacie na pomysły rozbijania tych wielomianów? Może mi ktoś przedstawić któryś z tych przykładów za pomocą Hornera? Może to zrozumiem.

wer8ter: ?

wer8ter: Pomożecie z tymi dwoma podpunktami?

wer8ter: a) 7x4 + 3x3 + 2x2 +3x − 5 b) x5 −2x4 + x2 + x3 + 3 Błagam.

wer8ter: 5 wpis od dołu, te dwa przykłady a) i b)...

Godzio: 7x⁴ + 3x³ + 2x² + 3x − 5 = 7x⁴ + 3x³ − 5x² + 7x² + 3x − 5 = x²(...) − (...) = (...)(x² − 1) = (...)(x − 1)(x + 1) Ten drugi na pewno dobrze przepisany ? Bo widzę, że kolejność jest nie taka jak powinna być (pytam dla pewności)

wer8ter: Jest dobrze przepisany na pewno.

Bogdan: Przedstawiam ideę rozkładania: a) +1 +3 +2 +3 +1 → +1 +3 +1 +1 +3 +1 b) +3 −5 +5 −5 +2 → +3 −5 +2 +3 −5 +2 a) +7 +3 +2 +3 −5 → +7 +3 −5 +7 +3 −5 b) +1 −2 +1 +1 +3 → +1 −2 +3 −2 +1 +3 → → +1 −2 +3 +1 −2 +3

Godzio: Po zbadaniu tego wielomianu wyszedł mi pierwiastek −1 więc grupuje pod niego: x⁵ − 2x⁴ + x³ + x² + 3 = x⁵ + x⁴ − 3x⁴ − 3x³ + 4x³ + 4x² − 3x² + 3 = = x⁴(x + 1) − 3x³(x + 1) + 4x²(x + 1) − 3(x − 1)(x + 1) = = (x + 1)(x⁴ − 3x³ + 4x² − 3x + 3) innych pierwiastków wymiernych nie ma więc to chyba tyle będzie

Basia: Godziu a jaka jest różnica między ...+x²+x³+.... a ....+x³+x²+...... ? Tak z ciekawości sobie zapytam

Godzio: No żadna, tyle że w podręcznikach trzymają się zasady, że piszą od najwyższej potęgi do najniższej, więc mnie to zdziwiło, że to akurat jest to tak zapisane

Godzio: x⁴ − 3x³ + 4x² − 3x + 3 = x⁴ − 3x³ + 3x² + x² − 3x + 3 = ... = (x² + 1)(x² − 3x + 3) jeszcze tak można było

wer8ter: Chyba zgubiłeś gdzieś (x+1), bo w odp. jest.

Godzio: Wcześniej napisałem (x + 1), a Tobie teraz rozbiłem tylko ten drugi nawias

Gustlik: a) x⁵ + 3x⁴ + 2x³ + 3x² + x b) 3x⁴ − 5x³ + 5x² − 5x +2 e) x³ − 6x−4 f) 2x³ − 3x² +1 ad a) − pogrupować, np. sposobem Bogdana, Hornerem się nie da. Pozostałe ja bym to potraktował Hornerem: ad b) 3 −5 5 −5 2 1 3 −2 3 −2 0 −1 3 −8 13 −18 20 2 3 1 7 9 20 −2 3 −11 27 −59 120 1/3 3 −4 3,666666667 −3,777777778 0,740740741 −1/3 3 −6 7 −7,333333333 4,444444444 2/3 3 −3 3 −3 0

	2		2
(x−		)(3x3−3x2+3x−3)=3(x−		)(x3−x2+x−1)=
	3		3

	2		2
=3(x−		)[x2(x−1)+(x−1)]=3(x−		)(x−1)(x2+1)
	3		3

ad c) 1 0 −6 −4 1 1 1 −5 −9 −1 1 −1 −5 1 2 1 2 −2 −8 −2 1 −2 −2 0 (x+2)(x²−2x−2)=.... dalej Δ, x₁, x₂ o ile istnieją i postać iloczynowa f. kwadratowej ad d) 2 −3 0 1 1 2 −1 −1 0 −1 2 −5 5 −4 0,5 2 −2 −1 0,5 −0,5 2 −4 2 0

	1		1		1
=(x+		)(2x2−4x+2)=2(x+		)(x2−2x+1)=2(x+		)(x−1)2
	2		2		2

krystek: A dlaczego nie tak :to do Gustlika przykład d) 2x³−2x²−x²+1= 2x²(x−1)− (x² −1)=2x²(x−1) − (x+1)(x−1)= (x−1)(2x²−x−1)=

	1
(x−1)*2(x+		)(x−1)=
	2

	1
2(x−1)(x−1)(x+		).
	2

Jeżeli uczeń nie zna innych metod to ta rozwija spostrzegawczość!

Gustlik: Ja wiem, że można przez grupowanie, Ale trzeba znać różne metody, schemat Hornera również, zwłaszcza, że w wielu szkołach się go nie przerabia, a metoda jest prosta. Poza tym na maturze liczy się czas, a ten jest cenniejszy od pieniadza, dlatego pokazuję te prostsze, niekombinacyjne metody. Właśnie dla tych mniej spostrzegawczych. Pozdrawiam