GEOMETRIA alfabeta: W trapezie podstawy mają długości a i b (a>b). Suma miar kątów wewnętrznych przy dłuższej podstawie wynosi 90 stopni. Wykaż, że odcinek łączący środki podstaw trapezu ma długość równą długości odcinka łączącego środki przekątnych.

alfabeta: prosze o pomoc

Vax:

	a−b
Zauważ, że odcinek łączący środki przekątnych ma długość		. Oznaczmy środek dłuższej
	2

podstawy jako P a środek krótszej jako Q. Przedłużmy ramiona trapezu, niech przecinają się w punkcie F. Oczywiście ∠ AFB = 90*. Opiszmy teraz okrąg na trójkącie DFC. Jest to trójkąt

	b
prostokątny, więc środkiem okręgu jest punkt Q, z czego wynika, że		= r1 = |QF| Teraz
	2

opiszmy okrąg na trójkącie AFB. Również jest to trójkąt prostokątny, więc środkiem okręgu jest

	a		a		b
punkt P,		= r2 = |PF| Interesuje nas odcinek |PQ| = |PF| − |QF| =		−		=
	2		2		2

	a−b
		cnd. Należy jednak jeszcze pokazać współliniowość punktów F,Q,P, czyli, że FP
	2

przechodzi przez środek |CD|. Oznaczmy punkt przecięcia FP z CD jako jakieś N. Zauważmy, że DNF ~ APF oraz NCF ~ PBF, w tej samej skali (skala w pierwszym podobieństwie jest równa

	|FD|		|FC|
		a w drugiem		, z twierdzenia Talesa obie są równe), oraz z założenia
	|FA|		|FB|

|AP| = |PB| skąd wynika, że |DN| = |NC| czyli teza.

alfabeta: dzięki