Udowadnianie-nie wiem jak to nazwać.
Damian: 1) Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych n i m, dla których zachodzi równość: 1!+2!+...+n!=m!
2)Udowodnij, że liczba 1004041 jest złożona.
3)Udowodnij, że liczba 210 + 512 jest złożona.
4)Liczby 22007 + 52007 wypisano jedna za drugą. Ile cufr wypisano?
5)Liczby naturalne n i m spełniają warunek mm + nn = mn + nm Wykaż, że m=n.
27 wrz 17:40
27 wrz 18:17
Vax: 3) 210+512 = (25+56)2 − 2*25*56 = (25+56)2−(23*53)2 =
(25−23*53+56)(25+23*53+56) czyli jest to liczba złożona.
27 wrz 18:23
Damian: Ok teraz zostały jeszcze 1) 2) 4) 5) pls
27 wrz 18:31
Vax: 4) Niech 22007 ma ,,a" cyfr, a 52007 ,,b", wtedy 10a−1 < 22007 < 10a oraz 10b−1
< 52007 < 10b, mnożąc stronami dostajemy 10a+b−2 < 102007 < 10a+b czyli 2007 =
a+b−1 skąd a+b=2008.
27 wrz 18:31
Trivial:
4. Można tak:
Ta liczba ma [log22007 + log52007]+1 cyfr, czyli ma 2008 cyfr.
27 wrz 18:37
Vax: 1) Załóżmy, że n ≥ 5, wtedy:
L = 1!+2!+3!+4!+5!+...+n! = 1+2+6+24+5(...) = 33 + 5(...) = m!
Lewa strona się nie dzieli przez 5, a prawa dla m ≥ 5 tak, pozostaje rozpatrzeć pozostałe
przypadki, z których szybko dostajemy (m,n) = (0,1) v (1,0) v (1,1)
27 wrz 19:01
Vax: 2) 1004041 = 106 + 4040 + 1 = (102)3+13 + 4040 = 101(104−102+1)+4040
Ale 4040 = 101 * 40, więc dane wyrażenie jako suma 2 składników podzielnych przez 101 dzieli
się przez 101, więc nie jest to liczba pierwsza.
27 wrz 19:10
Trivial:
Vax, ty byś tylko dzielił... Może byś coś w końcu połączył.
27 wrz 19:14
Oliwier: A skąd wziąłęś to : 1004041 = 106 + 4040 + 1 = (102)3+13 + 4040 = 101(104−102+1)+4040
27 wrz 19:34
Vax: 1 równość, 1004041 = 1000000 + 4041, a trzecia ze wzoru a3+b3 = (a+b)(a2−ab+b2)
27 wrz 19:35
Oliwier: Nie rozumiem
27 wrz 19:38
Oliwier: a sorki czaje
27 wrz 19:39
Vax: Czego dokładnie?
27 wrz 19:39
Vax: Ok
27 wrz 19:39
Oliwier: nie rozumiem rozwiązania dla 1) i 3) No i poproszę o zadanie 5)
27 wrz 19:49
Oliwier: ?
27 wrz 20:04
Vax: 5) Przyjmijmy, że m=x i n=y. Załóżmy, że x≠y i załóżmy bso, że x>y, przekształćmy nasze
równanie do postaci:
xx − yx = xy − yy, korzystamy ze wzoru na różnicę n−tych potęg, dzielimy przez x−y i
dostajemy:
xx−1+xx−2y+xx−3y2+..+xyx−2+yx−1 =
xy−1+xy−2y+xy−3y2+..+xyy−2+yy−1
(oznaczmy to jako L = P)
Ale:
{xx−1 > xy−1
{xx−2y > xy−2y
...
{yx−1 > yy−1
Po dodaniu mamy L > P czyli sprzeczność z założeniem, skąd x=y.
27 wrz 20:10
