Teoria liczb Oliwier: 1) Rozwiąż w liczbach pierwszych równanie: x^y +1=z 2)Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie: 1+x+x² +x³=2^y 3)Znajdź wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba n³ +3 jest podzielna przez n+3. 4)Dane są liczby naturalne x i y takie, że liczba 6x+11y jest podzielna przez 31. Udowodnij, że wówczas liczba x+7y również jest podzielna przez 31. 5)Znajdź wszystkie trzycyfrowe liczby, które przy dzieleniu przez 37 dają resztę 2, a przy dzieleniu przez 11 resztę 5.

Vax:

	n3+3		n2(n+3)−3n2+3		−3n(n+3)+9n+3
3)		=		= n2 +		=
	n+3		n+3		n+3

	9(n+3)−24		24
n2−3n+		= n2−3n+9−
	n+3		n+3

Czyli musi zachodzić n+3 | 24, n jest naturalne i po sprawdzeniu paru kombinacji dostajemy: n ∊ {0;1;3;5;9;21}

Vax: 4) 6x+11y = 0 (mod 31) /*5 ⇔ 30x + 24y = 0 (mod 31) ⇔ x = 24y (mod 31) Wtedy: x + 7y = 24y+7y = 31y = 0 (mod 31) cnd.

Vax: 5) Ma zachodzić: {x = 2 (mod 37) {x = 5 (mod 11) Z pierwszej kongruencji x = 37k+2, dla pewnego całkowitego k, wstawiamy do 2: 37k+2 = 5 (mod 11) ⇔ 4k = 3 (mod 11) /*3 ⇔ k = 9 (mod 11) ⇔ k = 11n+9 Wtedy: x = 37(11n+9)+2 = 407n+335 Jak łatwo zauważyć liczby trzycyfrowe dostaniem jedynie dla n=0 v n=1, będą to 335, 742

Damian: Dzięki Vax a zmierzysz się jeszcze z 1) i 2) ? pls

Vax: 2) Na początku zauważmy, że para (0,0) spełnia równanie, oraz dla x ≠ 0, x musi być nieparzyste. 1+x+x²+x³ = 2^y ⇔ (x+1)(x²+1) = 2^y Zauważmy, że korzystając z algorytmu Euklidesa mamy (przez (a,b) oznaczamy nwd(a,b)): (x+1 , x²+1) = (x+1 , x²+1−x(x+1)) = (x+1 , 1−x) Niech teraz p będzie największą liczbą pierwszą, przez którą dzieli się x+1 oraz 1−x, czyli: {x+1 = 0 (mod p) {1−x = 0 (mod p) Dodajemy stronami dostając 2 = 0 (mod p) skąd (x+1 , x²+1) = 2. Ale (x+1)(x²+1) = 2^y, więc musi zachodzić x+1 = 2 v x²+1 = 2, z pierwszego dostajemy x=1 co daje nam parę (x,y) = (1,2), a x²+1 = 2 nie daje nam żadnych nowych rozwiązań, stąd jedynymi całkowitymi rozwiązaniami są pary (x,y) = (0,0) v (1,2)

Oliwier: A 1)

Vax: 1) x^y = z−1, rozważmy pierwszy przypadek, gdy z=2, wtedy x^y = 1, czyli x=1 sprzeczność z założeniem, że x,y,z są pierwsze, więc z ≥ 3, czyli prawa strona jest parzysta, stąd lewa też musi. Jedyną liczbą pierwszą parzystą jest 2, skąd: 2^y = z−1 Jeżeli y=2 to dostajemy pierwszą trójkę (x,y,z) = (2,2,5), zakładamy więc, że y ≥ 3 więc y = 2k+1 dla pewnego naturalnego dodatniego k, wtedy: 2^2k+1 + 1 = z (2+1)(2^2k−2^2k−1+2^2k−2−...+1) = z Lewa strona dzieli się przez 3, więc prawa też musi, skąd z=3, wtedy: 2^2k+1 = 2 Czyli 2k+1 = 2 co nam naturalnych rozwiązań nie daje. Stąd jedynymi liczbami pierwszymi spełniającymi tezę są (x,y,z) = (2,2,5)

Oliwier: Czemu w 4)6x+11y = 0 (mod 31) /*5 ⇔ 30x + 24y = 0 (mod 31) a nie powinno być 55y zamiast 24y

Basia: 55(mod31) = 24

Tomek.Noah: Witam ja mam zapytanie do 2 Tam gdzie rozpisywales x²+1 dla algorytmu Euklidesa , na jakiej zasadzie dokonales roznicy z x(x+1) bo mysle mysle i nie moge wymyslec, a chcialbym wiedziec Dziekuje z gory za odpowiedz

Tomek.Noah: aaa ok juz wiem sorka