wielomiany pliss: ktos może wie jak zrobić to zadanieDany jest wielomian W(x)=x³+7x²+16x+m. Dla jakich wartości parametru m wielomian W posiada pierwiastek dwukrotny będący liczbą całkowitą. Dla wyznaczonego m oblicz wszystkie pierwiastki wielomianu

Jacek: pliss zróbcie mi mały prezent na dzień kobiet

Basia: rozwiązuję, cierpliwości !

Basia: jeżeli W(x) ma mieć pierwiastek podwójny całkowity, to W(x) = (x - a)²*P(x) = (x² - 2ax + a²)*P(x) gdzie: a∈C i wielomian P(x) jest wielomianem pierwszego stopnia czyli P(x) = x + b (współczynnik przy x w P(x) musi być równy 1 bo współczynnik przy x³ jest równy 1, a tylko x*x² da nam x³) no to mamy: W(x) = (x² - 2ax + a²)*(x+b) = x³ + bx² - 2ax² - 2abx + a²x + a²b = x³ + (b-2a)*x² + (a² - 2ab)*x + a²b stąd: b - 2a = 7 a² - 2ab = 16 m = a²b b = 2a + 7 a² - 2a(2a+7) = 16 a² - 4a² - 14a - 16 = 0 -3a² - 14a - 16 = 0 /*(-1) 3a² + 14a + 16 = 0 Δ = 14² - 4*3*16 = 196 - 192 = 4 √Δ = 2 a₁ = (-14-2)/6 = -16/6 = -8/3 odpada, bo to nie jest liczba całkowita a₂ = (-14+2)/6 = -12/6 = -2 a = -2 -------------- b = 7 + 2*(-2) = 7 - 4 = 3 b = 3 ---------------- m = (-2)²*3 = 4*3 = 12 i tu już nie ma co liczyć pierwiastkami wielomianu W(x) = x³ + 7x² + 16x + 12 są x₁ = a = -2 (pierwiastek dwukrotny) i x₂ = -b = -3 czyli W(x) = (x+2)²*(x+3)