Modulo Miś: Znaleźć wszystkie a∊N takie, że a¹⁰ + 1 = 0 (mod 10).

Eta: To specjalność Vaxa

Basia: a¹⁰+1 musi być wielokrotnością liczby 10 czyli ostatnią cyfrą a¹⁰ musi być 9 3¹⁰=59049 3¹⁰+1 = 59050 = 0 (mod10) 7 też spełnia ten warunek a potem 13 i 17, 23 i 27, ....... będą to więc wszystkie liczby postaci n*10+3 i n*10+7 gdzie n=0,1,.....

Vax: Można też tak: a¹⁰ = −1 = 9 (mod 10) Z Chińskiego Twierdzenia o resztach jest to równoważne: {a¹⁰ = 9 = 1 (mod 2) {a¹⁰ = 9 = 4 (mod 5) Z 1 od razu dostajemy a = 1 (mod 2)(*) , a w drugim z małego twierdzenia fermata dostajemy a⁵ = a (mod 5) ⇒ a¹⁰ = a² (mod 5) czyli: a² = 4 (mod 5) ⇔ (a−2)(a+2) = 0 (mod 5) ⇔a = 2 (mod 5) v a=−2=3(mod 5), łącząc (*) i 1 przypadek dostajemy a = 7 (mod 10) a łącząc (*) z 2 przypadkiem dostajemy a = 3 (mod 10) więc a = 10n+3 v a=10n+7 gdzie n ∊ Z

Miś: Dzięki!