Czy to było aż takie trudne? ICSP: Temat założony!

Trivial: A więc ICSP, zaczynamy od dodawania?

ICSP: ej! Nie ma tak. To nie fair!

ICSP: mam większy problem chwilowo.

Trivial: jaki problem? :<

ICSP: nie umiem gry pobrać...

Trivial: Straszny problem!

ICSP: Nom M&B 0,960 wszędzie linki wygasły

ICSP: dobra. Kiedy indziej poszukam. Możemy zaczynać.

Trivial: Dodawanie macierzy jest intuicyjne − wyraz po wyrazie. Dodaj:

2 3 4 5		1 3 3 2
	+		= ?

ICSP:

3 6 7 7

ICSP: ale można dodawać chyba macierze o takiej samej liczbie kolumn i wierzszy?

Trivial: Mnożenie przez skalar jest równie intuicyjne − każdy wyraz przez skalar. Pomnóż:

	1 2 −1 3
4		= ?

Trivial: Tak.

ICSP:

4 8 −4 12

Trivial: Teraz przejdziemy do mnożenia macierzy, co jest już trochę trudniejsze.

ICSP: a co się stanie jeżeli będę chciał dodać macierz 2x2 do macierzy 3x3?

Trivial: Jak odczytywać wymiary macierzy? Macierz nxm oznacza macierz o n wierszach i m kolumnach.

	1 3 4 1 0 2
Jaki wymiar ma macierz		?

ICSP: 2x3

Trivial: Nie można ich dodać. Ewentualnie można się umówić, że wypełniamy brakujące miejsca zerami, ale generalnie nie jest to zdefiniowane.

Trivial: A = (a_ij) ← taki zapis oznacza, że macierz A tworzą elementy a_ij (i−wiersze, j−kolumny)

	1 3 2 5
A =		.

a₁₂ = ? a₂₁ = ?

ICSP: a₁₂ = 3 a₂₁ = 2

Trivial:

Trivial: Mnożenie macierzy zdefiniowane jest następująco: A = (a_{i k}) B = (b_{k j}) C = (c_{i j}) C = AB ⇔ c_{i j} = ∑_m=1..k a_{i m}*b_{m j}

Trivial: Zauważ, że żeby pomnożyć dwie macierze wymiary muszą się odpowiednio zgadzać, mianowicie liczba kolumn A = liczba wierszy B. Wiesz jak się posługiwać znakiem ∑, czy mam wytłumaczyć?

ICSP: nie wiem co to jest ∑ i wszystko co jest za ∑

Trivial: ∑ to znak sumy. Przykład: ∑_k=1..n 2^k = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ. Tu się nie da tego ładnie zapisać. Znak ten zapisujemy tak: n ∑ k=1

Trivial: Ale to i tak tylko definicja. Istnieje bardzo prosty sposób zapamiętania jak mnożyć macierze. Przykład:

1 3 2 3	−1 4 0 2		a b c d
		=		= M

Mnożymy poszczególne wiersze przez kolumny analogicznie do iloczynu skalarnego.

	−1 0
a = (1 3)		= 1*(−1) + 3*0 = −1.

	4 2
b = (1 3)		= 1*4 + 3*2 = 4 + 6 = 10.

	−1 0
c = (2 3)		= −2 + 0 = −2.

	4 2
d = (2 3)		= 8 + 6 = 14.

	−1 10 −2 14
M =

Trivial: Skąd wiadomo które wektory pomnożyć? Patrzymy na element, który chcemy uzyskać, np. b. Jest on na pozycji 1,2. Bierzemy więc wiersz 1 z pierwszej macierzy i kolumnę 2 z drugiej.

ICSP: Mniej więcej rozumiem.

Trivial: Pomnóż:

1 3 2 0	2 −1 3 1
		= ?

ICSP: 1*2 + 3*3 = 3 + 9 = 12 2*2 + 0 = 3 1*−1 + 3*1 = −1 + 3 = 2 2 * (−1) + 0 = −2

12 2 3 −2

Jakby coś było źle to mów w którym miejscu.

Trivial: Chyba się trochę pośpieszyłeś. Pierwsze ok, tylko wynik 11. drugie ok, tylko wynik 4. trzecie ok czwarte też.

ICSP:

	11 4 3 −2
czyli

widać mam problemy ze zwykłym mnożeniem.

Trivial:

11 2 4 −2

Trivial: Więcej przykładów:

1 0 0 1	1 2 3 4
		= ?

ICSP: hmm mogę policzyć wyznacznik pierwszej macierzy a później przemnożyć drugą macierz przez wartość tego wyznacznika? Z tego co zauważyłem pierwsza macierz to macierz jednostkowa. Wyznacznik dowolnej macierzy jednostkowej jest równy 1

1 2 3 4

Trivial: Nie możesz. Macierz jednostkowa (iidentycznościowa) ma tę własność, że mnożenie jej przez A daje A. Macierz jednostkową oznaczamy dużą literką I (identity)

ICSP: Czyli tylko w wypadku macierzy jednostkowej tak mogę?

Trivial: Więcej przykładów!

1 2
	(3 4) = ?

	3 4
(1 2)		= ?

Trivial: W ogóle tak nie możesz.

ICSP:

3 4 6 8

3 6 4 8

Trivial: Pierwsze OK, drugie nie.

Trivial: Mnożysz wiersze A przez kolumny B − przypominam.

ICSP: (3 8)

Trivial: A zobacz jak liczyłem w pierwszym przykładzie.

ICSP: to dobrze już jest czy nie ?

Trivial: Wyjdzie macierz 1x1, czyli liczba.

ICSP: a macierz 1x1 nie jest liczbą?

Trivial: Można powiedzieć, że jest.

Trivial: To ile w końcu?

ICSP: 11 ?

Trivial:

ICSP: no wreszcie Zaczynam rozumieć o co chodzi w tym mnożeniu

Trivial: Jeden przykład na odchodne i kończymy na razie. Możesz sobie poszukać w necie innych przykładów, najlepiej z wynikami i większych wymiarach.

1 3 2 3	2 −1 1 2
		= ?

ICSP:

5 5 7 4

Trivial: idę. na razie.

ICSP: ok

Trivial: Jak tam ICSP, już ogarnąłeś mnożenie?

ICSP: mniej więcej.

Trivial: Jak chcesz mogę po kolacji dać ci więcej przykładów.

ICSP: gdybyś mógł Rozwiąże te przykłady i idziemy dalej.

Trivial: OK to dam kilka przed kolacją, bo kolacja będzie koszerna i trochę zejdzie zanim ją przygotuję.

Trivial: http://latex.codecogs.com/png.latex?\dpi{120}%20\\%20a)%20\begin{pmatrix}%201%20&2%20&-1%20&-2%20&0%20\\%201%20&2%20&0%20&-1%20&1%20\end{pmatrix}%20\begin{pmatrix}%201%20&3%20\\%200%20&-2%20\\%201%20&5%20\\%202%20&3%20\\%201%20&2%20\end{pmatrix}%20\\%20b)%20\begin{pmatrix}%201%20&2%20&3%20\\%201%20&1%20&1%20\\%201%20&2%20&1%20\end{pmatrix}%20\begin{pmatrix}%201%20&-1%20\\%202%20&2%20\\%203%20&0%20\end{pmatrix}

Trivial: idę.

ICSP:

	−4 −12 0 −2
a)

ICSP:

	14 3 6 1
b)

(8 3) Powstanie macierz 3x2 ale nie umiem inaczej jej zapisać

Trivial: All ok.

ICSP: wreszcie załapałem wymiary macierzy po przemnożeniu

Trivial: To może teraz coś na odstresowanie − proste. Macierzą transponowaną nazywamy macierz z 'przewróconymi' wierszami, tak aby utworzyły kolumny, co zapisujemy A^T lub A' (ale raczej to pierwsze). Formalnie: A = (a_{i j}) A^T = (a_{j i})

Trivial: Przykład:

	1 2 3 4		1 3 2 4
A =		AT =

Oblicz:

1 0 2 −3
	T = ?

ICSP:

1 2 0 −3

Trivial:

1 3
	T = ?

ICSP: (1 3)

Trivial: I ostatnie dla utrwalenia:

1 2 3 4 2 π 2 e
	T = ?

ICSP:

1 2 2 π

3 2 4 e

Trivial: Pomnóż macierze:

	1 1 1 2	1 1 0 2
a)			= ?

	1 1 0 2	1 1 1 2
b)			= ?

ICSP:

	1 3 1 5
a)

	2 3 2 4
b)

Trivial: Jaki wniosek?

ICSP: że umiem mnożyć?

Trivial: Mnożenie nie jest przemienne?

ICSP: no to wiedza dzieci w podstawówce

Trivial: OK. Zaczynamy coś nowego? Macierze odwrotne?

ICSP: możemy

Trivial: Macierz odwrotną do macierzy A oznaczamy przez A⁻¹. Jest to macierz która spełnia warunek: A⁻¹A = AA⁻¹ = I. Jak myślisz, kiedy istnieje macierz odwrotna?

ICSP: kiedy i = j ?

Trivial: Tak to pierwszy warunek. Macierz odwrotna odwraca przekształcenie, które wykonuje macierz wyjściowa. Jakieś inne warunki?

ICSP: nie wiem.

Trivial: Wychodzi na to, że wystarczy aby detA ≠ 0, wtedy macierz jest odwracalna. Dlaczego? Podam prosty przykład. Weźmy macierz, która 'wciąga' każdy wektor do punktu (0, 0)

	0 0 0 0
A =		.

	1 3
Weźmy teraz wektor P =		i wykonajmy przekształcenie na tym wetorze (mnożąc z lewej).

	0 0 0 0	1 3		0 0
AP =			=

Nie ma możliwości z tego wektora powrócić do wektora wyjściowego, bo część informacji została utracona → nie istnieje macierz odwrotna do A.

ICSP: czyli skoro wyznaczniki macierzy liczymy tylko dla macierzy w których i = j to warunek podany przeze mnie zawiera sie w warunku detA ≠ 0 ?

Trivial: Tak jakby.

ICSP: no wreszcie zaczynam coś łapać

Trivial: No więc jak znaleźć macierz odwrotną? Najpierw liczymy wyznacznik, aby upewnić się, że macierz odwrotna istnieje i ma się dobrze. Potem możemy skorzystać np. z metody eliminacji Gaussa−Jordana: Wychodzimy z postaci uzupełnionej macierzy (A | I), wykonujemy na niej operacje elementarne na wierszach i przekształcamy do postaci (I | A⁻¹). Są trzy dozwolone operacje elementarne: 1. Mnożenie wiersza przez skalar α≠0. 2. Dodanie do wiersza wielokrotności innego wiersza. 3. Zamiana wierszy miejscami. Przykład:

	1 2 3 4
A =

Chcemy znaleźć A⁻¹. detA = 4−6 = −2 ≠ 0 → istnieje macierz A⁻¹. Znajdziemy ją.

1 2 | 1 0 3 4 | 0 1		1 2 | 1 0 0 −2 | −3 1
	→1		→2

	1 0 | −2 1 0 −2 | −3 1		1 0 | −2 1 0 1 | 3/2 −1/2
		→3

(1) odejmujemy wiersz pierwszy * 3 od drugiego. (2) dodajemy wiersz 2 do 1. (3) dzielimy wiersz 2 przez −2.

	1	4 −2 −3 1
Zatem A−1 = −			.
	2

Trivial: A więc, sprawdź, czy zachodzi A⁻¹A dla powyższego przykładu.

Trivial: A⁻¹A = I *

ICSP: Straszne. Przeczytałem i chyba mniej więcej zrozumiałem.

Trivial: Co w tym strasznego?

ICSP:

−2 1 3/2 −1/2		1 2 3 4		1 0 0 1
	*		=		= I

ICSP: Te operacje mnie troszkę przerażają.

Trivial: Jest jeszcze druga metoda wyznaczania macierzy odwrotnej, zupełnie inna. Ale o niej później. Do czego można wykorzystać macierz odwrotną? Macierz odwrotną generalnie wykorzystuje się do odwracania operacji, ale można ją też wykorzystać do rozwiązania układu n równań liniowych. Przykład: Rozwiąż układ równań:

⎧	u + v = 3
⎩	−u+v = 1

Najpierw zapiszemy równanie w postaci macierzowej. Zauważmy, że to samo równanie można przedstawić w postaci:

1 1 −1 1	u v		3 1
		=		.

↖A ↖x ↖b A więc: Ax = b Przemnóżmy obustronnie to równanie z lewej przez A⁻¹ A⁻¹Ax = A⁻¹b Ale A⁻¹A = I, a I*x = x, czyli: x = A⁻¹b. No więc, ICSP, zadanie masz: Wyznacz A⁻¹, a następnie pomnóż przez b.

ICSP: jutro to zrobię bo już dziś przysypiam. Skończmy na 100 odpowiedziach

Trivial: spoko, to miało być ostatnie zadanko na dziś.

ICSP: no i popsułeś

Trivial: I tak by ktoś popsuł.

ICSP: pewnie tak, ale nie musiałeś robić tego ty