geometria analityczna Kasia: 1. Punkty (1,7), B (−5,1), C (7,−5) są wierzchołkami trojkata ABC. Oblicz odleglosc miedzy srodkami okregu opisanego na tym trojkacie a srodkiem ciezkosci tego trojkata. 2. Dane sa punkty A(−3,−3), B (7,2). a) podaj rownanie okregu ( w postaci zredukowanej), ktorego srednicą jest odcinek AB. b) na prostej k: x+y −6=0 wyznacz punkt C, dla ktorego kąt ABC ma miarę 90 stopni. c) dla wyznaczonego w punkcie b) punktu C oblicz pole trojkata ABC. 3. napisz rownanie ogolne prostej l prostopadlej do prostej k: 5x−y+3 =0 i przechodzacej przez punkty P (−1,2) 4. Oblicz odlegosc srodka S okregu o od prostej k oraz wyznacz punkty wspolne okregu z ta prosta ( o ile istnieja, jesli: o: x²+y² + 6x−1 =0 k: 3x+4y−9=0 To są zadania, ktore mi zostaly i z ktorymi za nic nie moge sobie poradzic.. to są zadania powtórkowe przed sprawdzianem i musze je umiec rozwiazywac.. Bylabym wdzieczna kazdemu kto pomoze mi z tymi zadankami od A do Z, lacznie z wyjasnieniem zebym mogla to zrozumiec z góry DZIĘUKUJĘ ogromnie

Basia: ad.1 S − środek okręgu opisanego na tr.ABC ⇔ |SA|=|SB|=|SC| ⇔ |SA|²=|SB|²=|SC|² S(x,y) |SA|² = (1−x)²+(7−y)² tak samo zapisz |SB| i |SC| i ułóż sobie układ równań |SA|² = |SB|² |SA|² = |SC|² P− środek ciężkości

	xA+xB+xC
xP =
	3

	yA+yB+yC
yP =
	3

wyznaczasz współrzędne S i P i liczysz |SP|

Gustlik: ad 2. Dane sa punkty A(−3,−3), B (7,2). a) podaj rownanie okregu ( w postaci zredukowanej), ktorego srednicą jest odcinek AB. b) na prostej k: x+y −6=0 wyznacz punkt C, dla ktorego kąt ABC ma miarę 90 stopni. c) dla wyznaczonego w punkcie b) punktu C oblicz pole trojkata ABC. ad a): − oblicz współrzędne środka S odcinka AB ze wzoru https://matematykaszkolna.pl/strona/1750.html, to będzie jednocześnie środek okręgu, − oblicz promień okręgu − będzie to odległość |SA| albo |SB|, − ułóż równanie kanoniczne okręgu z powyzszych danych (x−a)²+(y−b)²=r² i rozpisz je do postaci zerdukowanej x²+y²+Ax+By+C=0 − musisz podnieść nawiasy do kwadratu wzorami skróconego mnożenia, przenieść wszystko na lewo i zredukować wyrazy podobne. ad b) − przekształć równanie prostej do postaci kierunkowej − z funkcji liniowej można odczytać więcej informacji: x+y −6=0 → y=−x+6 − punkt C musi mieć współrzędne C=(x, −x+6), bo leży na tej prostej, − skorzystaj z iloczynu skalarnego wektorów CB^→ i CA^→: https://matematykaszkolna.pl/strona/1629.html . Oblicz współrzędne tych wektorow i ich iloczyn skalarny. Warunek prostopadłości wektorów to iloczyn skalarny CB^→ * CA^→ =0. Z tak otrzymanego równania oblicz x, wstaw do równania prostej i oblicz y. ad c) Wskazówka: skorzystaj z wyznacznika wektorów i z niego oblicz pole trójkąta. Wzór masz tutaj: https://matematykaszkolna.pl/forum/forum.py?komentarzdo=i18 .

Gustlik: ad 3. napisz rownanie ogolne prostej l prostopadlej do prostej k: 5x−y+3 =0 i przechodzacej przez punkty P (−1,2) − przekształć równanie prostej do postaci kierunkowej y=a₁x+b₁

	1
− oblicz wspołczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do danej ze wzoru a2=−		,
	a1

	1
otrzymasz równanie tej prostej y=−		x+b2
	a1

− wstaw do tego równania współrzędne punktu P i oblicz b₂ − przekształć tak otrzymane równanie do postaci ogólnej.

Gustlik: ad 4. Oblicz odlegosc srodka S okregu o od prostej k oraz wyznacz punkty wspolne okregu z ta prosta ( o ile istnieja, jesli: o: x²+y² + 6x−1 =0 k: 3x+4y−9=0 − oblicz wspołrzędne środka okręgu i promień ze wzorów: https://matematykaszkolna.pl/forum/forum.py?komentarzdo=1471 . "Brakujące" w równaniu współczynniki przyjmij jako równe 0. − mając obliczone współrzędne środka i promień zapisz równanie tego okręgu w postaci kanonicznej (x−a)²+(y−b)²=r². − rozwiąż układ równań okręgu − najlepiej kanonicznego z powyższego podpunktu z prostą − z równania liniowego oblicz np. y, wstaw do równania okręgu − otrzymasz równanie kwadratowe z 1 niewiadomą, np. x. Gdy Δ>0 − będą 2 punkty wspólne (x₁, y₁), (x₂, y₂), gdy Δ=0 − 1 puknt wspolny (x₀, y₀), gdy Δ<0 − brak punktów wspólnych. Oczywiście x₁, x₂, ew. x₀ − oblizcasz ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.

Gustlik: Małe sprostowanie do zad. 2: W pkt. b) trzeba obliczyć wektory BA^→ i BC^→ oraz ich iloczyn skalarny i przyrównać do 0, ponieważ B ma być wierzchołkiem kąta prostego, a nie C, źle przeczytałem treść. Jednak dalsze postepowanie bez zmian.